La volatilité GARCH entraîne une variabilité temporelle des rendements

Modèles GARCH en R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Covariance GARCH

Si deux rendements d'actifs $R_{1,t}$ et $R_{2,t}$ ont une corrélation $\rho$ et des volatilités variables dans le temps $\sigma_{1,t}$ et $\sigma_{2,t}$, leur covariance est :

$$ \sigma_{12, t} = \rho \sigma_{1, t} \sigma_{2, t} $$

Estimation de la covariance GARCH en quatre étapes

Étape 1 : Utilisez ugarchfit() pour estimer le modèle GARCH pour chaque série de rendements.

msftgarchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec) 
wmtgarchfit <- ugarchfit(data = wmtret, spec = garchspec)

Étape 2 : Utilisez residuals() pour calculer les rendements standardisés.

stdmsftret <- residuals(msftgarchfit, standardize = TRUE)
stdwmtret <- residuals(wmtgarchfit, standardize = TRUE)

Étape 3 : Utilisez cor() pour estimer $\rho$ comme la corrélation empirique des rendements standardisés.

msftwmtcor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdwmtret)) # equals 0.298795

Estimation de la covariance GARCH en quatre étapes

Étape 4 : Calculez la covariance GARCH en multipliant la corrélation et les volatilités estimées

msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)

Covariance GARCH

Applications de la covariance en finance

Nombreuses !
Cas clé : optimiser la variance du portefeuille.
Elle dépend :
- des pondérations du portefeuille
- de la variance de tous les actifs
- de la covariance entre les rendements des actifs

Application à l'optimisation de portefeuille

Variance d'un portefeuille de deux actifs avec une pondération $w_{1,t}$ dans l'actif 1 et $(1-w_{1,t})$ dans l'actif 2 :

$$ \sigma^{2}_{p, t} = w^{2}_{1, t} \sigma^{2}_{1, t} + (1 - w_{1, t})^{2} \sigma^{2}_{2, t} + 2 w_{1, t} (1 - w_{1, t}) \sigma_{12, t} $$

Plusieurs façons de définir le $w_{1,t}$ optimal. Une approche : choisir $w_{1,t}$ qui minimise la variance du portefeuille $\sigma_{t}^2$.

Condition du premier ordre pour trouver le portefeuille à variance minimale :

$$ \frac{\partial \sigma^{2}_{p, t}}{\partial w_{1, t}} = 2 w_{1, t} (\sigma^{2}_{1, t} + \sigma^{2}_{2, t} - 2 \sigma_{12, t}) - 2 (\sigma^{2}_{2, t} - \sigma_{12, t}) = 0 $$

Pondérations du portefeuille à variance minimale

Solution : Pondérations à variance minimale

Calcul en R :

msftvar <- sigma(msftgarchfit) ^ 2
wmtvar <- sigma(wmtgarchfit) ^ 2
msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)
msftweight <- (wmtvar - msftwmtcov) / (msftvar + wmtvar - 2 * msftwmtcov)

Covariance GARCH

Bêta dynamique

L'estimation du bêta d'une action est son risque systématique

Défini comme la covariance entre le rendement de l'action et celui du marché, divisée par la variance des rendements du marché

$$ \beta_{t} = \frac{\textnormal{covariance entre le rendement de l'action et celui du marché}}{\textnormal{variance du rendement du marché}} $$

Nécessaire pour calculer la prime de risque. Plus il est élevé, plus l'action est risquée et plus le rendement exigé est élevé.

Pour les actions américaines, le rendement du marché est celui du S&P 500.

Le bêta quotidien de MSFT

Calculez la covariance entre les rendements de MSFT et du S&P 500

msftsp500cor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdsp500ret))
msftsp500cov <- msftsp500cor * sigma(msftgarchfit) * sigma(sp500garchfit)

Calculez la variance des rendements du S&P 500

sp500var <- sigma(sp500garchfit) ^ 2

Calculez le bêta

msftbeta <- msftsp500cov / sp500var

Bêta de MSFT

Passons à la pratique !

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