N'utiliser que les données disponibles au moment de la prévision

Modèles GARCH en R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Prévision de la volatilité en appliquant `sigma()` à un objet `ugarchforecast`

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                        variance.model = list(model = "sGARCH"),
                        distribution.model = "norm")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)
garchforecast <- ugarchforecast(fitORspec = garchfit, n.ahead = 3)
sigma(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.005034754
T+2  0.005127582
T+3  0.005217770

Estimation de la volatilité en appliquant `sigma()` à un objet `ugarchfit` (i)

head(sigma(garchfit), 3)

1989-01-04 0.01099465
1989-01-05 0.01129167
1989-01-06 0.01084294

tail(sigma(garchfit), 3)

2017-12-27 0.005051926
2017-12-28 0.004947569
2017-12-29 0.004862908

Estimation de la volatilité en appliquant sigma() à un objet ugarchfit (ii)

<Biais d'anticipation> : les rendements futurs sont utilisés pour estimer la volatilité.

Éviter le biais d'anticipation : estimation déroulante (rolling)

Programmer une boucle for : parcourir les instants de prévision, utiliser ugarchfit() pour estimer le modèle et ugarchforecast() pour prévoir la volatilité
Fonction intégrée ugarchroll() du paquet rugarch
Options :
- Longueur de l'échantillon d'estimation
- Fréquence de réestimation du modèle

Fenêtre croissante (expanding)

Utiliser tous les rendements disponibles au moment de la prévision

Fenêtre mobile (moving)

N'utiliser qu'un nombre fixe des observations de rendement disponibles au moment de la prévision

Propriétés de l'estimation par fenêtre mobile

La fenêtre mobile s'adapte aux changements des paramètres du modèle
Le coût de calcul de ugarchroll() vient de la boucle sur les instants de prévision :
- Peut être réduit en réestimant le modèle moins souvent que la fréquence de prévision

Déroulement et réestimation

Réduire le coût de calcul en estimant le modèle toutes les $K$ observations

Fonction ugarchroll

garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

Arguments à préciser :

Spécification GARCH utilisée
data : données de rendement à utiliser
n.start : taille de l'échantillon d'estimation initial
refit.window : évolution de cet échantillon dans le temps : "moving" ou "expanding
refit.every : fréquence de réestimation du modèle

Exemple : rendements quotidiens EUR/USD, janv. 1999 à déc. 2018

Pour les 4 961 rendements EUR/USD avec 4 961 observations, à partir de 1999-01-05, en utilisant une fenêtre d'estimation mobile de 2 500 observations :

Sortie : paramètres qui évoluent

La méthode coef() produit une liste des coefficients estimés pour chaque estimation

coef(garchroll)[[1]]

$index
"2008-12-08"

$coef
            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
mu     -1.480000e-04 1.330915e-04 -1.11201737 0.2661307
ar1    -2.953484e-03 1.985344e-02 -0.14876432 0.8817396
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000
shape   1.098068e+01 2.609293e+01  0.42082981 0.6738794

Variations entre fenêtres d'estimation

coef(garchroll)[[1]]$coef # 2008-12-08

            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000

coef(garchroll)[[5]]$coef # 2016-11-28

            Estimate   Std. Error      t value     Pr(>|t|)
omega   8.982527e-08 2.639680e-05  0.003402885 9.972849e-01
alpha1  4.149787e-02 2.550381e-01  0.162712424 8.707449e-01
beta1   9.573885e-01 2.195782e-01  4.360125676 1.299878e-05

Quelle est la moyenne et la volatilité prévues en rolling ?

Pour les rendements EUR/USD avec n.start = 2500, la première prévision concerne l'observation 2501, soit le 2008-12-09 :

Méthode as.data.frame()

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds, 3)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142

Note :

preds$Mu : série des valeurs moyennes prévues
preds$Sigma : série des volatilités prévues

Volatilités prévues

garchvol <- xts(preds$Sigma, order.by = as.Date(rownames(preds)))
plot(garchvol)

Exactitude des prévisions déroulantes

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142
2008-12-12 -8.845214e-05 0.01199756    0 10.98068          0 -0.0041201588
2008-12-15 -1.362683e-04 0.01184438    0 10.98068          0 -0.0230532787
2008-12-16 -8.034966e-05 0.01228900    0 10.98068          0 -0.0105720492

Évaluer l'exactitude de preds$Mu et preds$Sigma en les comparant à preds$Realized

Erreur quadratique moyenne de prévision pour la moyenne

# Erreur de prévision pour la moyenne
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
mean(e ^ 2)

3.867998e-05

Erreur quadratique moyenne de prévision pour la variance

# Erreur de prévision pour la moyenne
e  <- preds$Realized - preds$Mu  

# Erreur de prévision pour la variance
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2)

6.974161e-09

Comparer deux modèles

GARCH standard avec loi t de Student

tgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
     variance.model = list(model = "sGARCH"), distribution.model = "std")
garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

GJR‑GARCH avec loi t de Student asymétrique

gjrgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
   variance.model = list(model = "gjrGARCH"), distribution.model = "sstd")
gjrgarchroll <- ugarchroll(gjrgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
            refit.window = "moving", refit.every = 500)

Comparaison de l'exactitude des prévisions

GARCH standard avec loi t de Student

preds <- as.data.frame(garchroll)
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # donne 6.974161e-09

GJR‑GARCH avec loi t de Student asymétrique

gjrpreds <- as.data.frame(gjrgarchroll)
e  <- gjrpreds$Realized - gjrpreds$Mu  
d  <- e ^ 2 - gjrpreds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # donne 6.965095e-09

C'est à l'usage qu'on juge de la valeur

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