Effet de levier

Modèles GARCH en R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Des rendements négatifs augmentent le levier

$R_t <0 $
$\downarrow$ valeur boursière
$\uparrow$ levier = dette / valeur boursière
$\uparrow$ volatilité

Deux équations

Utilisez des équations distinctes pour la variance après un rendement inattendu négatif ou positif $e_t = R_t - \mu_t$ :

Cas où $ e_{t-1} \gt 0$

$$ \sigma^2_{t} = ??? $$

Cas où $ e_{t-1} \le 0$

$$ \sigma^2_{t} = ??? $$

En cas de surprise positive

... on retient l'équation GARCH(1,1) usuelle :

Cas où $ e_{t-1} \gt 0$

$$ \sigma^2_{t} = \omega + \alpha e^{2}_{t-1} + \beta \sigma^{2}_{t-1} $$

Cas où $ e_{t-1} \le 0$

$$ \sigma^2_{t} = ??? $$

En cas de surprise négative

La variance prévue devrait être plus élevée qu'après une surprise positive.
Donc un coefficient plus grand multiplie l'erreur de prévision au carré : $\alpha+\gamma$ plutôt que $\alpha$, avec $\gamma \geq 0$

Cas où $ e_{t-1} \gt 0$

$$ \sigma^2_{t} = \omega + \alpha e^{2}_{t-1} + \beta \sigma^{2}_{t-1} $$

Cas où $ e_{t-1} \le 0$

$$ \sigma^2_{t} = \omega + (\alpha + \gamma) e^{2}_{t-1} + \beta \sigma^{2}_{t-1} $$

C'est le modèle GJR proposé par Glosten, Jagannathan et Runkle.

Comment ?

Modifiez l'argument variance.model de ugarchspec() de model = "sGARCH" à model = "gjrGARCH" :

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
                         variance.model = list(model = "sGARCH"),
                         distribution.model = "sstd")

$$\downarrow$$

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)), 
                        variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                        distribution.model = "sstd")

Illustration sur les rendements MSFT

Estimez le modèle

garchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec)

Examinez les coefficients GARCH

coef(garchfit)[2:5]

       omega       alpha1        beta1       gamma1 
2.007875e-06 3.423336e-02 9.363302e-01 5.531854e-02

Visualiser la réponse de la volatilité avec newsimpact()

out <- newsimpact(garchfit)
plot(out$zx, out$zy, xlab = "erreur de prévision", ylab = "variance prévue")

Estimons un modèle GJR-GARCH.

Modèles GARCH en R