Lois t multivariées

Lois de probabilité multivariée en R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Paramètres des distributions multivariées

Distribution	Paramètre de position	Paramètre d'échelle
Normale	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Normale asymétrique	`xi`	`Omega`
t asymétrique	`xi`	`Omega`

Paramètres des distributions multivariées

Distribution	Paramètre de position	Paramètre d'échelle	Degrés de liberté
Normale	`mean`	`sigma`	Non
t	`delta`	`sigma`	Oui
Normale asymétrique	`xi`	`Omega`	Non
t asymétrique	`xi`	`Omega`	Oui

Comparer une normale univariée et des lois t univariées

Comparaison

Normale standard
t avec différents df

Comparer les queues des lois normale et t

Queues plus épaisses pour le même seuil

$P(X< - 1.96 \text{ ou } X > 1.96)$

Distribution	Probabilité
Normale	0,05
t(df=1)	0,3
t(df=8)	0,0857
t(df=20)	0,0641
t(df=30)	0,0593

Notation de la loi t multivariée

Généralisation de la loi t de Student univariée
- La version la plus utilisée a un seul degré de liberté pour toutes les dimensions et se note

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

Lignes de niveau : normale et t bivariées

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Lignes de niveau d'une t avec df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

Lignes de niveau d'une normale bivariée

Fonctions pour les lois t multivariées

Fonctions :
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Générer des échantillons

Générez des échantillons d'une t en 3 dimensions avec $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Préciser delta et sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Générer des échantillons                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Comparer avec des échantillons normaux

Loi t avec 4 degrés de liberté

Loi normale

Comparer avec des échantillons normaux

Loi t avec 10 degrés de liberté

Loi normale

Générons des échantillons d'une loi t multivariée !

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