Fonction de répartition cumulative et inverse de la CDF

Lois de probabilité multivariée en R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Quand calculer la CDF et son inverse ?

Densité normale avec $\mu=210$ et $\sigma=10$

Quand calculer la CDF et son inverse ?

Aire sous la courbe pour $x < 200$

Quand calculer la CDF et son inverse ?

pnorm(200, mean = 210, sd = 10)

[1] 0.159

Quand calculer la CDF et son inverse ?

Quel est le $x_0$ tel que la probabilité cumulative à $x_0$ est 0,95 ?

qnorm( p = 0.95, mean = 210, sd = 10)

[1] 226.45

$\Rightarrow$ 95 % des pots de café auront moins de 226.45 grammes de café

Répartition cumulative pour une normale bivariée

CDF bivariée à x = 2 et y = 4 pour une normale avec ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{pmatrix}}$

Répartition cumulative avec pmvnorm

CDF bivariée à x = 2 et y = 4 pour une normale avec ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 2), 2)

pmvnorm(upper = c(2, 4), mean = mu1, sigma = sigma1)

[1] 0.79
attr(,"error")
[1] 1e-15
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

Probabilité entre deux valeurs avec pmvnorm

Probabilité que $ 1 < x < 2$ et $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

Probabilité entre deux valeurs avec pmvnorm

Probabilité que $ 1 < x < 2$ et $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

[1] 0.163

Inverse de la CDF pour une normale bivariée

L'ellipse rouge foncé correspond au quantile 0,95

qmvnorm

Calcul des quantiles avec qmvnorm

sigma1 <- diag(2)
sigma1

     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

qmvnorm(p = 0.95, sigma = sigma1, tail = "both")

$quantile
[1] 2.24
$f.quantile
[1] -1.31e-06
attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

Le cercle rouge de rayon 2,24 contient 0,95 de la probabilité

Passons à la pratique !

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