Distributions asymétriques multivariées

Lois de probabilité multivariée en R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Distribution multivariée asymétrique : nuage de points

Données de cytométrie en flux — diffusion latérale (SSC) et diffusion avant (FSC)

Distribution multivariée asymétrique : courbes de niveau

Données de cytométrie en flux — diffusion latérale (SSC) et diffusion avant (FSC)

Distribution normale asymétrique univariée

La loi normale asymétrique générale se note $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ et $\omega$ sont les paramètres de position et d'échelle

Forme la plus simple : $z \sim SN(\alpha)$

$\alpha$ est le paramètre d'asymétrie

Plage des normales asymétriques univariées

Comparer $SN(\alpha)$ à une normale standard

Pour $\alpha>0$ : asymétrie à droite
Pour $\alpha<0$ : asymétrie à gauche
$SN(0)$ équivaut à une normale standard

Distribution normale asymétrique multivariée

Notations : distribution normale asymétrique multivariée en trois dimensions

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ paramètre de position (vecteur de longueur $3$)
$\Omega$ paramètre de variance-covariance (matrice $3 \times 3$)
$\alpha$ paramètre d'asymétrie (vecteur de longueur $3$)

Courbes de niveau : normale asymétrique bivariée

Normale asymétrique bivariée

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Fonctions pour la normale asymétrique

Depuis la bibliothèque sn :

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Il faut préciser xi, Omega, alpha

Fonctions pour la loi t asymétrique

Depuis la bibliothèque sn :

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Il faut préciser xi, Omega, alpha, nu (degrés de liberté)

Générer des échantillons de normale asymétrique

Générer 2000 échantillons d'une normale asymétrique en 3D

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Spécifier xi, Omega et alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Générer des échantillons
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Échantillon d'une distribution normale asymétrique

Générer des échantillons de loi t asymétrique

Générer 2000 échantillons d'une loi t asymétrique en 3D avec

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Générer des échantillons
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Estimation des paramètres à partir des données

Un algorithme itératif est nécessaire pour estimer les paramètres d'une normale asymétrique
- Pas d'équation explicite pour les calculer
Plusieurs fonctions dans le paquet sn, dont msn.mle()

Estimation des paramètres à partir des données

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Les échantillons ont été générés avec :

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Passons à la pratique avec les normales asymétriques !

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