Calculer l'espérance de vie

Évaluation des produits d'assurance vie en R

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

La durée de vie future tronquée

$K_x = \lfloor T_x \rfloor$, le nombre d'années entières vécues
$\quad \,$ par $(x)$ à l'avenir.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

Calculez $Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$.

# Probabilité de décès différée de 5 ans pour (65)
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Autre méthode
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664

L'espérance de vie tronquée

La valeur attendue de $K_x$ s'appelle l'espérance de vie tronquée :

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

L'espérance de vie d'un superhéros

M. Incroyable a 35 ans et vit en Belgique.

Comme superhéros indépendant, il doit planifier ses finances.

Quelle bonne estimation de sa durée de vie future tronquée ?

Pouvez-vous aider ?

L'espérance de vie d'un superhéros en R

Calculez $E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$.

# Probabilités de survie d'un an
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# Probabilités de survie sur k ans pour (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# Espérance de vie future tronquée de (35)
sum(kp35)

43.53192

La durée de vie future attendue

Comment passer de $E[K_x]$ à $E[T_x]$ ?
Donc : de l'espérance tronquée à l'espérance complète ?
Utilisez :

$$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

L'espérance de vie d'un superhéros en R

Comparez $E[K_{35}]$ à $E[T_{35}]$.

# Espérance de vie tronquée de (35)
sum(kp35)

43.53192

# Espérance de vie complète de (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03

Passons à la pratique !

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