Durée de vie future aléatoire

Évaluation des produits d'assurance vie en R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

La durée de vie future aléatoire

$(x)$ désigne une personne âgée de $x$ en ce moment, avec $x \geq 0$.
La variable aléatoire $T_x$ est la durée de vie future de $(x)$.
Ainsi, l'âge au décès de $(x)$ est $x + T_x$.

La table de mortalité dans R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table contient la table de mortalité périodique des hommes en Belgique, 2013.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Taux de mortalité et probabilités de survie

La probabilité sur un an de décéder

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ est le taux de mortalité à l'âge $x$.
La probabilité sur un an de survivre

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Donc, $p_x = 1 - q_x$.

Taux de mortalité de sportifs belges dans R

Eden Hazard est un footballeur belge qui joue pour Chelsea et a 27 ans.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx est un cycliste belge, quintuple vainqueur du Tour de France, et il a 72 ans.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Visualiser les taux de mortalité belges $q_x$ dans R

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

L'espérance de vie

La durée de vie future espérée (complète) de $(x)$ est $E[T_x]$
Pour Eden Hazard, 27 ans :

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

Pour Eddy Merckx, 72 ans :

ex[72 + 1]

12.67

Visualiser l'espérance de vie dans R

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Passons à la pratique !

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