Calculer des probabilités

Évaluation des produits d'assurance vie en R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Des probabilités de survie sur un an à plusieurs années

$$ _{t+u}p_x =\ _{u}p_x \cdot \ _{t}p_{x+u}. $$

Réécriture des probabilités de survie :

$$ _{t+u}p_x =\ _{u}p_x \cdot \ _{t}p_{x+u}. $$
Avec $k$ un entier, on obtient :

$$ \begin{aligned} _kp_x &= p_x \cdot \ _{k-1}p_{x+1} \\ &= p_x \cdot p_{x+1} \cdots p_{x+k-1} \\ &= \prod_{l=0}^{k-1} p_{x+l} \end{aligned} $$

$\quad \,$ soit un produit de probabilités de survie annuelles.

Calculer $_5p_{65} = p_{65} \cdot p_{66} \cdot p_{67} \cdot p_{68} \cdot p_{69}$.

# Probabilités de survie annuelles
px <- 1 - life_table$qx 
px[(65 + 1):(69 + 1)]

0.98491 0.98320 0.98295 0.98091 0.97935

# Probabilité que (65) survive 5 ans de plus
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)])

0.9144015

Calculer $_5p_{65} = \frac{\ell_{70}}{\ell_{65}}$.

# Autre méthode (écart dû à 
                 l'arrondissement)
lx[70 + 1] / lx[65 + 1]

0.9143957

Calculer $_kp_{65}$ pour $k = 1, 2, 3, 4, 5$.

# Probabilités de survie annuelles
px[(65 + 1):(69 + 1)]

0.98491 0.98320 0.98295 0.98091 0.97935

# Probabilités de survie pluriannuelles de (65)
cumprod(px[(65 + 1):(69 + 1)])

0.9849100 0.9683635 0.9518529 0.9336820
0.9144015

Calculer $_kp_{65}$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

# Probabilités de survie pluriannuelles de (65)
c(1, cumprod(px[(65 + 1):(69 + 1)]))

1.0000000 0.9849100 0.9683635 0.9518529 
0.9336820 0.9144015

$(x)$ survit $k$ années entières, puis décède avant d'atteindre l'âge $x + k + 1$ :

$$ \begin{aligned} _{k|}q_x &= {}_kp_x \cdot q_{x+k}. \end{aligned} $$

Calculer $_{5|}q_{65} = {}_5p_{65} \cdot q_{70}$.

# Probabilité de mortalité différée sur 5 ans de (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

Calculer $_{5|}q_{65} = \frac{d_{70}}{\ell_{65}}$.

# Autre méthode (écart dû à l'arrondissement)
dx[70 + 1] / lx[65 + 1]

0.02086817

Calculer $_{k|}q_{65} = {}_kp_{65} \cdot q_{65 + k}$ pour $k = 0, 1, 2, \ldots$

# Probabilités de survie de (65)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(length(px) - 1)]))
head(kpx)

1.0000000 0.9849100 0.9683635 0.9518529 0.9336820 0.9144015

# Probabilités de mortalité différées de (65)
kqx <- kpx * qx[(65 + 1):length(qx)]
head(kpx)

0.01509000 0.01654649 0.01651060 0.01817087 0.01928053 0.02086664

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