Estimation et inférence a posteriori

Modélisation bayésienne avec RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Modèle de régression bayésien

$Y_i$ = poids de l'adulte $i$ (kg)
$X_i$ = taille de l'adulte $i$ (cm)

$\;$

Modèle

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$

$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(1, 0.5^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 20)$

Estimation ponctuelle a posteriori

summary(weight_sim_big)

1. Empirical mean and standard deviation for each variable,
   plus standard error of the mean:
      Mean      SD  Naive SE Time-series SE
a -104.038 7.85296 0.0248332       0.661515
b    1.012 0.04581 0.0001449       0.003849
s    9.331 0.29495 0.0009327       0.001216

2. Quantiles for each variable:
       2.5%       25%      50%     75%   97.5%
a -118.6843 -109.5171 -104.365 -99.036 -87.470
b    0.9152    0.9828    1.014   1.044   1.098
s    8.7764    9.1284    9.322   9.524   9.933

Moyenne a posteriori de $a$ $\approx$ -104.038

Moyenne a posteriori de $b$ $\approx$ 1.012

Estimation ponctuelle a posteriori

Tendance moyenne a posteriori :

$m_i = -104.038 + 1.012 X_i$

Sortie de la chaîne de Markov :

head(weight_chains)

             a        b        s
[1,] -113.9029 1.072505 8.772007
[2,] -115.0644 1.077914 8.986393
[3,] -114.6958 1.077130 9.679812
[4,] -115.0568 1.072668 8.814403
[5,] -114.0782 1.071775 8.895299
[6,] -114.3271 1.069477 9.016185

Incertitude a posteriori

Tendance moyenne a posteriori :

$m_i = -104.038 + 1.012 X_i$

Sortie de la chaîne de Markov :

head(weight_chains)

             a        b        s
[1,] -113.9029 1.072505 8.772007
[2,] -115.0644 1.077914 8.986393
[3,] -114.6958 1.077130 9.679812
[4,] -115.0568 1.072668 8.814403
[5,] -114.0782 1.071775 8.895299
[6,] -114.3271 1.069477 9.016185

Intervalles de crédibilité a posteriori

summary(weight_sim_big)

1. Empirical mean and standard deviation for each variable,
   plus standard error of the mean:
      Mean      SD  Naive SE Time-series SE
a -104.038 7.85296 0.0248332       0.661515
b    1.012 0.04581 0.0001449       0.003849
s    9.331 0.29495 0.0009327       0.001216

2. Quantiles for each variable:
       2.5%       25%      50%     75%   97.5%
a -118.6843 -109.5171 -104.365 -99.036 -87.470
b    0.9152    0.9828    1.014   1.044   1.098
s    8.7764    9.1284    9.322   9.524   9.933

Intervalle de crédibilité a posteriori à 95 % pour $a$ : (-118.6843, -87.470)

Intervalle de crédibilité a posteriori à 95 % pour $b$ : (0.9152, 1.098)

Intervalles de crédibilité a posteriori

Interprétation

Compte tenu des a priori et des données observées, il y a 95 % de probabilité (a posteriori) que $b$ soit entre 0.9152 et 1.098 kg/cm.

Probabilités a posteriori

table(weight_chains$b > 1.1)

FALSE  TRUE 
97835  2165

mean(weight_chains$b > 1.1)

0.02165

Interprétation :
La probabilité a posteriori que $b$ dépasse 1.1 kg/cm est de 2,165 %.

Passons à la pratique !

Modélisation bayésienne avec RJAGS