Régression de Poisson

Modélisation bayésienne avec RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Structure de vraisemblance normale

$Y$ = volume (nb d'utilisateurs) un jour donné
$Y \sim N(m, s^2)$

Techniquement…

Le modèle normal suppose que $Y$ est continu et peut être négatif.
Or $Y$ est un dénombrement discret et ne peut pas être négatif.

Le modèle de Poisson

$Y$ = volume (nb d'utilisateurs) un jour donné
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ est le nb d'événements indépendants dans un intervalle fixe (0, 1, 2, …).
Le paramètre de taux $l$ représente le nb moyen d'événements par intervalle de temps
($l > 0$).

Le modèle de Poisson

$Y$ = volume (nb d'utilisateurs) un jour donné
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ est le nb d'événements indépendants dans un intervalle fixe (0, 1, 2, …).
Le paramètre de taux $l$ représente le nb moyen d'événements par intervalle de temps
($l > 0$).

Le modèle de Poisson

$Y$ = volume (nb d'utilisateurs) un jour donné
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ est le nb d'événements indépendants dans un intervalle fixe (0, 1, 2, …).
Le paramètre de taux $l$ représente le nb moyen d'événements par intervalle de temps
($l > 0$).

Le modèle de Poisson

$Y$ = volume (nb d'utilisateurs) un jour donné
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ est le nb d'événements indépendants dans un intervalle fixe (0, 1, 2, …).
Le paramètre de taux $l$ représente le nb moyen d'événements par intervalle de temps
($l > 0$).

Régression de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ où $l_i > 0$

Régression de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ où $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Régression de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ où $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Problème :
Relier directement $l_i$ au modèle linéaire suppose que $l_i$ peut être négatif.

Régression de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ où $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Solution :
Utiliser une fonction de liaison logarithmique pour relier $l_i$ au modèle linéaire. Ainsi :

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Régression de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ où $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Solution :
Utiliser une fonction de liaison logarithmique pour relier $l_i$ au modèle linéaire. Ainsi :

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Régression de Poisson avec RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c




}"

Régression de Poisson avec RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Régression de Poisson avec RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Régression de Poisson avec RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Mises en garde

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

Hypothèse : parmi les jours de température et de type de jour similaires, la variance de $Y_i$ est égale à sa moyenne.
Nos données indiquent une possible surdispersion : la variance dépasse la moyenne.
Ce modèle n'est pas parfait, mais constitue un bon point de départ.

Passons à la pratique !

Modélisation bayésienne avec RJAGS