Régression bayésienne multivariée

Modélisation bayésienne avec RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Modéliser le volume

$Y_i$ = volume sur la piste (nb d'utilisateurs) au jour $i$

¹ Photo : commons.wikimedia.org

Modéliser le volume selon le jour de semaine

$Y_i$ = volume sur la piste (nb d'utilisateurs) au jour $i$
$X_i$ = 1 pour les jours de semaine, 0 pour la fin de semaine

$\;$

Modéliser le volume selon la température

$Y_i$ = volume sur la piste (nb d'utilisateurs) au jour $i$
$Z_i$ = température maximale au jour $i$ (en $^{\circ}$F)

$\;$

Modéliser le volume selon la température et le jour

$Y_i$ = volume sur la piste (nb d'utilisateurs) au jour $i$
$X_i$ = 1 pour les jours de semaine, 0 pour la fin de semaine
$Z_i$ = température maximale au jour $i$ (en $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Fin de semaine : $m_i = a + c Z_i$

Jours de semaine : $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modéliser le volume selon la température et le jour

$Y_i$ = volume sur la piste (nb d'utilisateurs) au jour $i$
$X_i$ = 1 pour les jours de semaine, 0 pour la fin de semaine
$Z_i$ = température maximale au jour $i$ (en $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Fin de semaine : $m_i = a + c Z_i$

Jours de semaine : $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modéliser le volume selon la température et le jour

$m_i = a + bX_i + cZ_i$

Fin de semaine : $m_i = a + c Z_i$

Jours de semaine : $m_i = (a + b) + c Z_i$

$a$ = ordonnée à l'origine (fin de semaine)
$a+b$ = ordonnée à l'origine (jour de semaine)
$b$ = contraste entre les ordonnées à l'origine jour vs fin de semaine

$c$ = pente commune
$s$ = écart type résiduel

A priori pour $a$ et $b$

L'ordonnée à l'origine pour la relation entre la température et le volume de fin de semaine est incertaine.

Incertitude aussi sur la différence de volume typique entre jours de semaine et fins de semaine à température similaire.

A priori pour $c$ et $s$

Jour de semaine ou fin de semaine, l'association entre volume sur la piste et température est incertaine.

L'écart typique à la tendance est aussi probable entre 0 et 200 utilisateurs.

Modèle bayésien du volume selon le statut jour de semaine

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

DÉFINIR le modèle bayésien dans RJAGS

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_2 <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
    Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
    m[i] <- a + b[X[i]] + c * Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c, s
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
  c ~ dnorm(0, 20^(-2))
  s ~ dunif(0, 200)
}"

Passons à la pratique !

Modélisation bayésienne avec RJAGS