Estimation des paramètres

Modèles de mélange en R

Victor Medina

Researcher at The University of Edinburgh

head(data)

         x
1 3.294453
2 5.818586
3 2.380493
4 4.415913
5 5.048659
6 4.750195

Modèles de mélange en R

Hypothèses

  1. Quelle loi ? $\rightarrow$ loi gaussienne $\checkmark$
  2. Combien de groupes ? $\rightarrow$ 2 groupes $\checkmark$
  3. Quels paramètres ?
    • 2 moyennes
    • 2 proportions
    • 2 écarts types $\rightarrow$ tous deux égaux à 1 $\checkmark$

$\Rightarrow$ 4 paramètres à estimer ! (2 moyennes et 2 proportions)

Modèles de mélange en R

1 Probabilités connues $\rightarrow$

Estimer les moyennes et les proportions

2 Moyennes et proportions connues $\rightarrow$

Estimer les probabilités

Modèles de mélange en R

Étape 1 : probabilités connues

head(data_with_probs)

         x prob_red prob_blue
1 3.294453     0.64      0.36
2 5.818586     0.01      0.99
3 2.380493     0.92      0.08
4 4.415913     0.16      0.84
5 5.048659     0.05      0.95
6 4.750195     0.09      0.91

Modèles de mélange en R

Pour les moyennes

means_estimates <- data_with_probs %>%
   summarise(mean_red = sum(x * prob_red) / sum(prob_red),
             mean_blue = sum(x * prob_blue) / sum(prob_blue))
means_estimates

  mean_red mean_blue
1  2.86925  5.062976

Pour les proportions

proportions_estimates <- data_with_probs %>% 
   summarise(proportion_red = mean(prob_red),
             proportion_blue = 1 - proportion_red)
proportions_estimates

  proportion_red proportion_blue
1          0.305           0.695
Modèles de mélange en R

Modèles de mélange en R

Étape 2 : moyennes et proportions connues

Modèles de mélange en R

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Étape 2 : probabilités pondérées

$\text{Probabilité}_{\text{ bleu}}=\frac{0.065}{0.115 + 0.065}=0.36$

data %>% 
   mutate(prob_from_red = 0.3 * dnorm(x, mean = 3),
          prob_from_blue = 0.7 * dnorm(x,mean = 5),
          prob_red = prob_from_red/(prob_from_red + prob_from_blue),
          prob_blue = prob_from_blue/(prob_from_red + prob_from_blue)) %>% 
   select(x, prob_red, prob_blue) %>% head(4)

         x   prob_red  prob_blue
1 3.294453 0.63733037 0.36266963
2 5.818586 0.01115698 0.98884302
3 2.380493 0.91619343 0.08380657
4 4.415913 0.15721146 0.84278854
Modèles de mélange en R

Résumé

  • Quand les probabilités sont connues $\rightarrow$ estimer les moyennes et les proportions
  • Quand les moyennes et proportions sont connues $\rightarrow$ estimer les probabilités

Modèles de mélange en R

Passons à la pratique !

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