मैट्रिक्स-वेक्टर समीकरणों को हल करना

R में Data Science के लिए Linear Algebra

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

$A\vec{x} = \vec{b}$ को $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ से हल करना:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

अपने समाधान $\vec{x}$ को वापस रखकर जाँचें:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

जो दिए गए $\vec{b}$ के बराबर है:

print(b)

1 -2

अद्वितीय समाधान के लिए अतिरिक्त शर्तें

अतः, homogeneous समीकरण $A\vec{x} = \vec{0}$ का एकमात्र समाधान trivial समाधान $\vec{x} = \vec{0}$ है.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

यदि $A$ एक $n$ बाय $n$ square मैट्रिक्स है, तो निम्न शर्तें समतुल्य हैं और $$A\vec{x} = \vec{b}$$ के लिए एक अद्वितीय समाधान देती हैं:

मैट्रिक्स $A$ का inverse मौजूद है (invertible)
$A$ का determinant nonzero है
$A$ की पंक्तियाँ और स्तंभ $n$-तत्व वाले सभी वेक्टरों के लिए एक basis बनाते हैं
homogeneous समीकरण $A\vec{x} = \vec{0}$ का सिर्फ trivial ($\vec{x} = 0$) समाधान है

R में Data Science के लिए Linear Algebra