असमानता प्रतिबंधों के साथ convex-constrained optimization

Python में Optimization परिचय

Jasmin Ludolf

Content Developer

कोना बनाम आंतरिक समाधान

Alexia के पास काम के केवल 5 घंटे हैं

$$ w\leq 5$$

दो प्रतिबंध:
- एक दिन में 24 घंटे
- काम के 5 घंटे
प्रतिबंध मिलकर एक कोना बनाते हैं
Interior समाधान इंटरसेक्शन नहीं है

उदासीनता वक्र और प्रतिबंध। सर्वोत्तम उपयोगिता वाला उदासीनता वक्र प्रतिबंधों के प्रतिच्छेद से गुजरता है।

क्षमता प्रतिबंधों वाला निर्माता

ऑटोमेकर दो प्लांट $A$, $B$ में एक जैसे कारें बनाता है
- मात्रा: $q_A$, $q_B$
- क्षमता: $q_A\leq 90$, $q_B\leq 90$
- लागत: $C_A(q)=3q$, $C_B(q)=3.5q$
माँग:
- $P=120-Q$
अनुबंध:
- $Q\geq 92$
लाभ अधिकतम करने का उद्देश्य:
- $\displaystyle\max \Pi(q_A,q_B)$

कार मैन्युफैक्चरिंग लाइन

लाभ अधिकतम करना

उद्देश्य:
- $\Pi = R-C$
  - $R = PQ$

लाभ अधिकतम करना

उद्देश्य:
- $\Pi = R-C$
  - $R = PQ = (120-Q)Q $

लाभ अधिकतम करना

उद्देश्य:
- $\Pi = R-C$
  - $R = PQ = (120-Q)Q=\left[120-(q_A+q_B)\right](q_A+q_B)$
  - $C=C_A+C_B=3q_A+3.5q_B$
सीमाएँ
- $0\leq q_A, q_B\leq 90$
प्रतिबंध
- $Q\geq92\Leftrightarrow 92\leq q_A+q_B$

रूपरेखा

$$\max_{q_A,q_B}R(q_A,q_B)-C(q_A,q_B)$$

$$s.t.$$

$$R(q_A,q_B)=\left[120-(q_A+q_B)\right](q_A+q_B)$$

$$\ \ \ \ \ C(q_A,q_B)=3q_A+3.5q_B$$

$$\ \ \ 0\leq q_A, q_B\leq 90$$

$$ \ \ \ \ 92\leq q_A+q_B$$

from scipy.optimize import minimize,\
        Bounds, LinearConstraint


def R(q):
    return (120 - (q[0] + q[1]
       )) * (q[0] + q[1])

def C(q): return 3*q[0] + 3.5*q[1] 

def profit(q): return R(q) - C(q)


bounds = Bounds([0, 0], [90, 90])


constraints = LinearConstraint([1, 1], 
                               lb=92)

SciPy से लाभ अधिकतम करें

result = minimize(lambda q: -profit(q),

                  [50, 50],

                  bounds=bounds,
                  constraints=constraints)

print(result.message)
print(f'The optimal number of cars produced in plant A is: {result.x[0]:.2f}')
print(f'The optimal number of cars produced in plant B is: {result.x[1]:.2f}')
print(f'The firm made: ${-result.fun:.2f}')

Optimization terminated successfully
The optimal number of cars produced in plant A is: 90.00
The optimal number of cars produced in plant B is: 2.00
The firm made: $2299.00

SciPy में नॉन-लीनियर प्रतिबंध

from scipy.optimize import NonlinearConstraint 
import numpy as np


constraints = NonlinearConstraint(lambda q: q[0] + q[1], lb=92, ub=np.inf)


result = minimize(lambda q: -profit(q), 
                  [50, 50], 
                  bounds=Bounds([0, 0], [90, 90]),
                  constraints=constraints)

NonlinearConstraint के साथ समाधान

print(result.message)
print(f'The optimal number of cars produced in plant A is: {result.x[0]:.2f}')
print(f'The optimal number of cars produced in plant B is: {result.x[1]:.2f}')
print(f'The firm made: ${-result.fun:.2f}')

Optimization terminated successfully
The optimal number of cars produced in plant A is: 90.00
The optimal number of cars produced in plant B is: 2.00
The firm made: $2299.00

सरल, रैखिक समस्याओं के लिए LinearConstraint() इस्तेमाल करें
अन्यथा NonlinearConstraint() का उपयोग करें

अभ्यास करते हैं!

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