Kaplan-Meier एस्टीमेटर फिट करना
Python में Survival Analysis
Shae Wang
Senior Data Scientist
Kaplan-Meier एस्टीमेटर क्या है?
एक non-parametric सांख्यिकीय तरीका जो time-to-event डेटा का survival function अनुमानित करता है.
- इसे {{1}} यह भी कहते हैं
- product-limit estimator
- K-M estimator
- Non-parametric: एकत्रित डेटा से survival curve बनाता है और किसी underlying distribution को मानकर नहीं चलता
गणितीय सहज-बोध
परिभाषाएँ:
- $t_i$: एक duration समय
- $d_i$: समय $t_i$ पर हुए events की संख्या
- $n_i$: समय $t_i$ तक जीवित माने गए individuals की संख्या
Survival function $S(t)$ का अनुमान: $$S(t)=\prod_{i:t_i\leq t}\bigg(1-\frac{d_i}{n_i}\bigg)$$
इसे product-limit estimator क्यों कहते हैं?
मान लीजिए events 3 समयों पर हैं: 1, 2, 3
$t=2$ के लिए survival rate: $$S(t=2)=\bigg(1-\frac{d_1}{n_1}\bigg)*\bigg(1-\frac{d_2}{n_2}\bigg)$$
$t=3$ के लिए survival rate: $$S(t=3)=S(t=2)*\bigg(1-\frac{d_3}{n_3}\bigg)$$
समय t पर survival rate, t और उससे पहले हर समय पर बचने की प्रतिशत संभावना के गुणनफल के बराबर होता है.
ध्यान रखने योग्य धारणाएँ
- स्पष्ट events: इच्छित event एक स्पष्ट समय पर होता है.
- सभी subjects में survival संभावनाएँ तुलनीय: व्यक्तियों की survival संभावनाएँ उनके अध्ययन में शामिल होने के समय पर निर्भर नहीं करतीं.
- Censorship non-informative है: censored observations की survival संभावनाएँ, आगे follow की गई observations जैसी ही मानी जाती हैं.
lifelines के साथ Kaplan-Meier एस्टीमेटर
from lifelines import KaplanMeierFitter
KaplanMeierFitter: lifelines लाइब्रेरी की एक class
kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations, event_observed)
Mortgage समस्या उदाहरण
DataFrame नाम: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
Mortgage समस्या उदाहरण
DataFrame नाम: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
from lifelines import KaplanMeierFitter
mortgage_kmf = KaplanMeierFitter()
mortgage_kmf.fit(duration=mortgage_df["duration"],
event_observed=mortgage_df["paid_off"])
<lifelines.KaplanMeierFitter:"KM_estimate",
fitted with 100 total observations,
18 right-censored observations>
Kaplan-Meier एस्टीमेटर का उपयोग
बकाया mortgage की median अवधि क्या है?
print(mortgage_kmf.median_survival_time_)
4.0
आरंभ के बाद हर साल mortgage के बकाया रहने की संभावना क्या है?
print(mortgage_kmf.survival_function_)
KM_estimate
timeline
0.0 1.000000
1.0 0.983267
2.0 0.950933
3.0 0.892328
Kaplan-Meier एस्टीमेटर का उपयोग
आरंभ के 34वें साल तक mortgage के न चुकने की संभावना क्या है?
mortgage_kmf.predict(34)
0.037998
लाभ और सीमाएँ
लाभ
- survival संभावनाओं की सहज व्याख्या.
- किसी भी time-to-event डेटा पर लचीला उपयोग.
- time-to-event डेटा पर आमतौर पर आज़माया जाने वाला पहला मॉडल.
सीमाएँ
- Survival curve स्मूद नहीं होती.
- अगर 50% या अधिक डेटा censored है, तो
.median_survival_time_नहीं निकाला जा सकता. - Covariates के प्रभाव का survival function पर आकलन करने में प्रभावी नहीं.
अभ्यास करते हैं!
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