मल्टिवेरिएट t-वितरण

R में Multivariate Probability Distributions

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

मल्टिवेरिएट वितरणों के पैरामीटर

Distribution	Location Parameter	Scale Parameter
Normal	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Skew-normal	`xi`	`Omega`
Skew-t	`xi`	`Omega`

मल्टिवेरिएट वितरणों के पैरामीटर

Distribution	Location Parameter	Scale Parameter	Degrees of freedom
Normal	`mean`	`sigma`	No
t	`delta`	`sigma`	Yes
Skew-normal	`xi`	`Omega`	No
Skew-t	`xi`	`Omega`	Yes

यूनिवेरिएट नॉर्मल बनाम यूनिवेरिएट t-वितरण

तुलना

स्टैंडर्ड नॉर्मल
अलग-अलग df वाले t

नॉर्मल और t-वितरण की टेल्स की तुलना

एक ही cutoff पर टेल्स ज़्यादा मोटी होती हैं

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

Distribution	Probability
Normal	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

मल्टिवेरिएट t-वितरण की संकेतन

यूनिवेरिएट Student's t-वितरण का सामान्यीकरण
- व्यापक रूप से प्रयोग किया जाने वाला रूप सभी डाइमेंशनों के लिए एक ही degree of freedom लेता है और इसे ऐसे लिखा जाता है

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

बाइवेरिएट नॉर्मल और t-वितरण के कंटूर्स

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

df = 3 वाले t के कंटूर्स

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

बाइवेरिएट नॉर्मल के कंटूर्स

मल्टिवेरिएट t-वितरण के लिए फंक्शंस

फंक्शंस शामिल हैं:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

रैंडम सैंपल बनाना

3-डाइमेंशनल t से सैंपल जनरेट करें, जहाँ $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

नॉर्मल सैंपल्स से तुलना

4 degrees of freedom वाली t-वितरण

नॉर्मल वितरण

नॉर्मल सैंपल्स से तुलना

10 degrees of freedom वाली t-वितरण

नॉर्मल वितरण

आइए मल्टिवेरिएट t-वितरण से सैंपल जनरेट करें!

R में Multivariate Probability Distributions