मल्टीवेरिएट स्क्यू डिस्ट्रीब्यूशन्स

R में Multivariate Probability Distributions

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

स्क्यू मल्टीवेरिएट डिस्ट्रीब्यूशन: स्कैटर्प्लॉट

फ्लो साइटोमेट्री डेटा — साइड स्कैटर (SSC) और फॉरवर्ड स्कैटर (FSC)

स्क्यू मल्टीवेरिएट डिस्ट्रीब्यूशन: कंटूर प्लॉट

फ्लो साइटोमेट्री डेटा — साइड स्कैटर (SSC) और फॉरवर्ड स्कैटर (FSC)

यूनिवेरिएट स्क्यू-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन

जनरल स्क्यू-नॉर्मल को $SN(\xi,\omega,\alpha)$ से दर्शाते हैं

$\xi$ और $\omega$ लोकेशन और स्केल पैरामीटर हैं

सरल रूप: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ स्क्यूनेस पैरामीटर है

यूनिवेरिएट स्क्यू-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन्स की रेंज

$SN(\alpha)$ की तुलना स्टैंडर्ड Normal से

$\alpha>0$ होने पर दाईं ओर स्क्यू
$\alpha<0$ होने पर बाईं ओर स्क्यू
$SN(0)$ स्टैंडर्ड Normal के समान है

मल्टीवेरिएट स्क्यू-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन

नोटेशन: थ्री-डायमेंशनल मल्टीवेरिएट स्क्यू-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ लोकेशन पैरामीटर (लंबाई $3$ का वेक्टर)
$\Omega$ वैरिएंस-कोवेरिएंस पैरामीटर ($3 \times 3$ मैट्रिक्स)
$\alpha$ स्क्यूनेस पैरामीटर (लंबाई $3$ का वेक्टर)

बाइवेरिएट स्क्यू-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन: कंटूर प्लॉट

बाइवेरिएट स्क्यू-नॉर्मल

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

स्क्यू-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के फंक्शन

sn लाइब्रेरी से:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- xi, Omega, alpha निर्दिष्ट करने होंगे

स्क्यू-t डिस्ट्रीब्यूशन के फंक्शन

sn लाइब्रेरी से:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- xi, Omega, alpha, nu (degrees of freedom) निर्दिष्ट करने होंगे

स्क्यू-नॉर्मल सैंपल जनरेट करना

3-डायमेंशनल स्क्यू-नॉर्मल से 2000 सैंपल जनरेट करें

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Specify xi, Omega and alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Generate samples
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

स्क्यू-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन से सैंपल

स्क्यू-t सैंपल जनरेट करना

3-डायमेंशनल स्क्यू-t से 2000 सैंपल जनरेट करें

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Generate samples
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

डेटा से पैरामीटर का अनुमान

स्क्यू-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के पैरामीटर अनुमान के लिए iterative एल्गोरिदम चाहिए
- पैरामीटर निकालने के लिए कोई explicit समीकरण नहीं
sn पैकेज में कई फंक्शन हैं, जिनमें msn.mle() शामिल है

डेटा से पैरामीटर का अनुमान

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

सैंपल इससे जनरेट किए गए थे:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

अब स्क्यू-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन्स पर कुछ अभ्यास करें!

R में Multivariate Probability Distributions