Poisson रिग्रेशन

RJAGS के साथ Bayesian Modeling

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Normal लाइकलीहुड संरचना

$Y$ = किसी दिन का वॉल्यूम (# of users)
$Y \sim N(m, s^2)$

तकनीकी रूप से...

Normal मॉडल मानता है कि $Y$ निरंतर स्केल पर है और नकारात्मक हो सकता है।
पर $Y$ एक विविक्त काउंट है और नकारात्मक नहीं हो सकता।

Poisson मॉडल

$Y$ = किसी दिन का वॉल्यूम (# of users)
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ एक निश्चित इंटरवल में घटने वाली स्वतंत्र घटनाओं की संख्या है (0, 1, 2, ...).
रेट पैरामीटर $l$ प्रति समय-अंतराल औसत घटनाओं की संख्या दर्शाता है
($l > 0$).

Poisson मॉडल

$Y$ = किसी दिन का वॉल्यूम (# of users)
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ एक निश्चित इंटरवल में घटने वाली स्वतंत्र घटनाओं की संख्या है (0, 1, 2, ...).
रेट पैरामीटर $l$ प्रति समय-अंतराल औसत घटनाओं की संख्या दर्शाता है
($l > 0$).

Poisson मॉडल

$Y$ = किसी दिन का वॉल्यूम (# of users)
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ एक निश्चित इंटरवल में घटने वाली स्वतंत्र घटनाओं की संख्या है (0, 1, 2, ...).
रेट पैरामीटर $l$ प्रति समय-अंतराल औसत घटनाओं की संख्या दर्शाता है
($l > 0$).

Poisson मॉडल

$Y$ = किसी दिन का वॉल्यूम (# of users)
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ एक निश्चित इंटरवल में घटने वाली स्वतंत्र घटनाओं की संख्या है (0, 1, 2, ...).
रेट पैरामीटर $l$ प्रति समय-अंतराल औसत घटनाओं की संख्या दर्शाता है
($l > 0$).

Poisson रिग्रेशन

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ जहाँ $l_i > 0$

Poisson रिग्रेशन

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ जहाँ $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Poisson रिग्रेशन

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ जहाँ $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

एक समस्या:
$l_i$ को सीधे लीनियर मॉडल से जोड़ना मान लेता है कि $l_i$ नकारात्मक हो सकता है।

Poisson रिग्रेशन

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ जहाँ $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

एक समाधान:
$l_i$ को लीनियर मॉडल से जोड़ने के लिए log link function का उपयोग करें। इससे:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Poisson रिग्रेशन

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ जहाँ $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

एक समाधान:
$l_i$ को लीनियर मॉडल से जोड़ने के लिए log link function का उपयोग करें। इससे:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

RJAGS में Poisson रिग्रेशन

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c




}"

RJAGS में Poisson रिग्रेशन

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

RJAGS में Poisson रिग्रेशन

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

RJAGS में Poisson रिग्रेशन

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

सावधानियाँ

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

मान्यता: समान तापमान और कार्यदिवस स्थिति वाले दिनों में, $Y_i$ का विरंजन $Y_i$ के औसत के बराबर है।
हमारे डेटा में संभावित overdispersion दिखती है - विरंजन औसत से बड़ा है।
यह मॉडल परफेक्ट नहीं है, लेकिन शुरुआत के लिए ठीक है।

अभ्यास करते हैं!

RJAGS के साथ Bayesian Modeling