Mer om egenvärden och egenvektorer

Linjär algebra för datavetenskap i R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Vad händer här?

Om egenvärden $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ för $A$ är distinkta och $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n$ är tillhörande egenvektorer, bildar dessa vektorer en bas för mängden av $n$-dimensionella vektorer.
Med andra ord: om vi antar att matrisen $A$ har en bas av egenvektorer $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ... \vec{v}_n$ med distinkta egenvärden $\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n$, kan varje $n$-dimensionell vektor uttryckas som en linjärkombination av dessa vektorer: $$\vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n.$$

Vad händer här?

Tillämpar vi matrisen $A$ på $\vec{x}$ och utnyttjar att $A\vec{v}_j = \lambda_j \vec{v}_j,$ får vi följande enkla dekomposition:

$$A\vec{x} = c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n.$$

Egenpar omvandlar alltså matrismultiplikation till en linjärkombination av skalärmultiplikationer!

Iterera matrisen

Multiplicerar vi iterativt med matrisen $A$:

$$A A\vec{x} = $$ $$ = A(c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n)$$ $$ = c_1\lambda_1^2\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^2\vec{v}_n,$$

eller generellt: $$A^t\vec{x} = c_1\lambda_1^t\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^t\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^t\vec{v}_n.$$

Upprepad matrismultiplikation är alltså inte detsamma som upprepad skalärmultiplikation (exponentiation)!

Om ett egenvärde är större än de övriga accentueras dessutom dessa skillnader när $t$ ökar.

Exempel med allelfrekvenser

print(M)

eigen(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

eigen() decomposition
$`values`
[1] 1.00 0.98 0.97 0.97

$vectors
     [,1] [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -0.5  0.5  0.000000e+00  7.071068e-01
[2,] -0.5 -0.5 -7.071068e-01  1.132427e-14
[3,] -0.5 -0.5  7.071068e-01 -2.442491e-15
[4,] -0.5  0.5 -1.382228e-14 -7.071068e-01

print(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

Lambda <- eigen(M)
v1 <- Lambda$vectors[, 1]/sum(Lambda$vectors[, 1])
print(v1)

0.25 0.25 0.25 0.25

Nu kör vi en övning!

Linjär algebra för datavetenskap i R