Lösa matris-vektorekationer

Linjär algebra för datavetenskap i R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Löser $A\vec{x} = \vec{b}$ med $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Verifierar lösningen genom att sätta in $\vec{x}$:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Vilket är lika med givna $\vec{b}$:

print(b)

1 -2

Ytterligare villkor för unika lösningar

Den enda lösningen till den homogena ekvationen $A\vec{x} = \vec{0}$ är alltså den triviala lösningen $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Om $A$ är en kvadratisk $n \times n$-matris gäller följande ekvivalenta villkor, som alla garanterar en unik lösning till $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

Matrisen $A$ har en invers (är inverterbar)
Determinanten av $A$ är skild från noll
Rader och kolumner i $A$ bildar en bas för mängden av alla vektorer med $n$ element
Den homogena ekvationen $A\vec{x} = \vec{0}$ har enbart den triviala lösningen ($\vec{x} = 0$)

Linjär algebra för datavetenskap i R