เพิ่มเติมเกี่ยวกับค่าเจาะจงและเวกเตอร์เจาะจง

พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับ Data Science ใน R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

เกิดอะไรขึ้น?

หากค่าเจาะจง $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ ของ $A$ ไม่ซ้ำกัน และ $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n$ คือเซตของเวกเตอร์เจาะจงที่สอดคล้องกัน เซตของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็น เบสิส ของเซตเวกเตอร์ $n$ มิติ
กล่าวคือ หากสมมติว่าเมทริกซ์ $A$ มีเบสิสของเวกเตอร์เจาะจง $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ... \vec{v}_n$ ที่มีค่าเจาะจงไม่ซ้ำกัน $\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n$ แล้ว ทุก เวกเตอร์ $n$ มิติสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้ได้ กล่าวคือ $$\vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n.$$

เกิดอะไรขึ้น?

เมื่อนำเมทริกซ์ $A$ คูณกับ $\vec{x}$ และใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $A\vec{v}_j = \lambda_j \vec{v}_j$ จะสังเกตเห็นการแยกส่วนที่เรียบง่ายดังนี้

$$A\vec{x} = c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n.$$

ดังนั้น คู่ค่า-เวกเตอร์เจาะจงจะแปลงการคูณเมทริกซ์ให้กลายเป็นผลรวมเชิงเส้นของการคูณสเกลาร์!

การวนซ้ำเมทริกซ์

หากคูณด้วยเมทริกซ์ $A$ ซ้ำ ๆ:

$$A A\vec{x} = $$ $$ = A(c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n)$$ $$ = c_1\lambda_1^2\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^2\vec{v}_n,$$

หรือในรูปทั่วไป: $$A^t\vec{x} = c_1\lambda_1^t\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^t\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^t\vec{v}_n.$$

ดังนั้น การคูณเมทริกซ์ซ้ำ ๆ จึงไม่เหมือนกับการยกกำลังสเกลาร์!

นอกจากนี้ หากค่าเจาะจงค่าใดค่าหนึ่งมากกว่าค่าอื่น ความแตกต่างเหล่านี้จะยิ่งขยายมากขึ้นเมื่อ $t$ เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างกับความถี่อัลลีล

print(M)

eigen(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

eigen() decomposition
$`values`
[1] 1.00 0.98 0.97 0.97

$vectors
     [,1] [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -0.5  0.5  0.000000e+00  7.071068e-01
[2,] -0.5 -0.5 -7.071068e-01  1.132427e-14
[3,] -0.5 -0.5  7.071068e-01 -2.442491e-15
[4,] -0.5  0.5 -1.382228e-14 -7.071068e-01

print(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

Lambda <- eigen(M)
v1 <- Lambda$vectors[, 1]/sum(Lambda$vectors[, 1])
print(v1)

0.25 0.25 0.25 0.25

มาฝึกกันเถอะ!

พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับ Data Science ใน R