นิยามของค่าเจาะจงและเวกเตอร์เจาะจง

พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับ Data Science ใน R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

นิยาม

สำหรับเมทริกซ์ $A$ สเกลาร์ $\lambda$ คือ ค่าเจาะจง ของ $A$ โดยมี เวกเตอร์เจาะจงที่สัมพันธ์กัน $\vec{v} \neq \vec{0}$ เมื่อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$$

กล่าวคือ:

การคูณเมทริกซ์ $A\vec{v}$ ซึ่งเป็นการดำเนินการระหว่างเมทริกซ์กับเวกเตอร์ ให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์เดียวกับ $\lambda \vec{v}$ ที่เป็นการคูณสเกลาร์กับเวกเตอร์

เมทริกซ์นี้ ไม่จำเป็น ต้องเหมือนกับเมทริกซ์ในบทที่แล้ว

ตัวอย่าง

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

สังเกตว่า $\lambda = 2$ เป็นค่าเจาะจงของ $A$ โดยมีเวกเตอร์เจาะจง $\vec{v} = (1, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

แรงจูงใจเชิงเรขาคณิต

ตัวอย่าง (ต่อ)

สังเกตว่า $\lambda = 2$ เป็นค่าเจาะจงของ $A$ โดยมีเวกเตอร์เจาะจง $\vec{v} = (1, 0)^T$ และ $\vec{v} = (4, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

มาฝึกกันเถอะ!

พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับ Data Science ใน R