Визначення власних значень і власних векторів

Лінійна алгебра для Data Science в R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Визначення

Для матриці $A$ скаляр $\lambda$ є власним значенням $A$, а відповідний власний вектор — $\vec{v} \neq \vec{0}$, якщо виконується рівність: $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$$

Іншими словами:

Множення матриці на вектор $A\vec{v}$ дає той самий вектор, що й скалярне множення $\lambda \vec{v}$.

Ця матриця не обов'язково має бути такою, як у попередній лекції.

Приклад

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

Зверніть увагу: $\lambda = 2$ — власне значення $A$ з власним вектором $\vec{v} = (1, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

Геометрична мотивація

Приклад, продовження

Зверніть увагу: $\lambda = 2$ — власне значення $A$ з власним вектором $\vec{v} = (1, 0)^T$ _і_ $\vec{v} = (4, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

Давайте потренуємось!

Лінійна алгебра для Data Science в R