Strukturella brott

Kvantitativ riskhantering i Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Risk och fördelning

Verktygslåda för riskhantering
- Riskreducering: MPT
- Riskmätning: VaR, CVaR
Risk: spridning, volatilitet
- Varians (standardavvikelse) som riskmått
Koppling mellan risk och fördelning av riskfaktorer som stokastiska variabler

Stationäritet

Antagande: fördelningen är densamma över tid
Oförändrad fördelning = stationär
Den effektiva fronten under den globala finanskrisen
- Inte stationär
Estimeringsmetoder kräver stationäritet
- Historisk: okänd stationär fördelning från historiska data
- Parametrisk: antagen stationär fördelningsklass
- Monte Carlo: antagen stationär fördelning för slumpdragningar

Strukturella brott

Icke-stationär => fördelningen förändras möjligen över tid
Anta specifika tidpunkter för förändring
- Dela upp data i delperioder
- Inom varje delperiod antas stationäritet
Strukturella brott: förändringspunkter
- Förändring i "trend" för medelvärde och/eller volatilitet i data

Exempel: Kinas befolkningstillväxt

Undersöker perioden 1950–2019
Trenden är ungefär linjär...

Graf över Kinas befolkningsutveckling, 1950–2019

Exempel: Kinas befolkningstillväxt

Undersöker perioden 1950–2019
Trenden är ungefär linjär...
...men verkar avta från omkring 1990
Möjligt strukturellt brott runt 1990.
Tyder på att fördelningen av nettobfolkning (födslar – dödsfall) förändrades
Möjliga orsaker: statlig politik, levnadsstandard m.m.

Graf över Kinas befolkningsutveckling med trendpilar, 1950–2019

Chow-testet

Föregående exempel: visuella bevis för strukturellt brott
Kvantifiering: statistiskt mått
Chow-testet:
- Testar förekomsten av strukturellt brott givet en linjär modell
- Nollhypotes: inget brott
- Kräver tre OLS-regressioner
  - Regression för hela perioden
  - Två regressioner, före och efter brottet
- Samla in summan av kvadrerade residualer
- Teststatistikan följer en "F"-fördelning

Chow-testet i Python

Hypotes: strukturellt brott 1990 för Kinas befolkning
Antag en linjär "faktormodell": $$\log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t$$
OLS-regression med statsmodelss OLS-objekt över hela perioden 1950–2019
- Hämta summan av kvadrerade residualer res.ssr

import statsmodels.api as sm
res = sm.OLS(log_pop, year).fit()

print('SSR 1950-2019: ', res.ssr)

SSR 1950-2019: 0.29240576138055463

Chow-testet i Python

Dela upp 1950–2019 i delperioderna 1950–1989 och 1990–2019
Utför OLS-regressioner för varje delperiod
- Hämta res_before.ssr och res_after.ssr

pop_before = log_pop.loc['1950':'1989']; year_before = year.loc['1950':'1989'];
pop_after  = log_pop.loc['1990':'2019']; year_after =  year.loc['1990':'2019'];

res_before = sm.OLS(pop_before, year_before).fit()
res_after  = sm.OLS(pop_after, year_after).fit()

print('SSR 1950-1989: ', res_before.ssr)
print('SSR 1990-2019: ', res_after.ssr)

SSR 1950-1989: 0.011741113017411783
SSR 1990-2019: 0.0013717593339608077

Chow-testet i Python

Beräkna den F-fördelade Chow-teststatistikan
- Beräkna täljaren
  - k = 2 frihetsgrader = 2 OLS-koefficienter $\alpha$, $\beta$
- Beräkna nämnaren
  - 66 frihetsgrader = totalt antal datapunkter (70) - 2*k

numerator = (ssr_total - (ssr_before + ssr_after)) / 2

denominator = (ssr_before + ssr_after) / 66

chow_test = numerator / denominator
print("Chow test statistic: ", chow_test, "; Critical value, 99.9%: ", 7.7)

Chow test statistic: 702.8715822890057; Critical value, 99.9%: 7.7

Nu kör vi en övning!

Kvantitativ riskhantering i Python

Preparing Video For Download...