Regression och prognoser

Bayesiansk dataanalys i Python

Michal Oleszak

Machine Learning Engineer

Linjär regression

$$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ...$$

$$\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}$$

Frekventistisk inferens:
- $\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending} + \varepsilon$
- $\varepsilon \sim \mathcal{N} (0, \sigma)$

Bayesiansk inferens:
- $\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$

Normalfördelning

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)




sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")



plt.show()

En täthetskurva för standardnormalfördelningen, med topp vid 0 och symmetrisk kring detta värde.

Normalfördelning

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)
normal_3_1 = np.random.normal(3, 1, size=10000)


sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")
sns.kdeplot(normal_3_1, shade=True, label="N(3,1)")


plt.show()

En täthetskurva för standardnormalfördelningen, med topp vid 3 och symmetrisk kring detta värde.

Normalfördelning

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)
normal_3_1 = np.random.normal(3, 1, size=10000)
normal_0_3 = np.random.normal(0, 3, size=10000)

sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")
sns.kdeplot(normal_3_1, shade=True, label="N(3,1)")
sns.kdeplot(normal_0_3, shade=True, label="N(0,3)")

plt.show()

En täthetskurva för standardnormalfördelningen, med topp vid 0 och symmetrisk kring detta värde.

Definition av bayesiansk regressionsmodell

$$\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$$

$$\beta_0 \sim \mathcal{N} (5, 2)$$

$$\beta_1 \sim \mathcal{N} (2, 10)$$

$$\sigma \sim \mathcal{Unif} (0, 3)$$

Vi förväntar oss $5 000 i försäljning utan marknadsföring.
Vi förväntar oss $2 000 mer i försäljning för varje $1 000 ökning i utgifter.
Likformigt prior för standardavvikelsen, eftersom vi inte vet vad det kan vara.

Skatta regressionsparametrar

Rutnätsapproximation → opraktisk för många parametrar
Välj konjugerade priors och simulera från en känd posterior → ointuitiva priors
Tredje vägen: simulera från posteriorn även med icke-konjugerade priors!
Anta för nu att parameterutdragen är givna

Rita posterior

$$\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}$$

print(marketing_spending_draws)

array([9.6153, 8.9922, ..., 4.59565])

import pymc3 as pm

pm.plot_posterior(
  marketing_spending_draws, 
  hdi_prob=0.95
)

Ett täthetdiagram med medelvärde och trovärdighetsintervall markerade.

Analys av posteriorutdrag

posterior_draws_df = pd.DataFrame({
    "intercept_draws": intercept_draws,
    "marketing_spending_draws": marketing_spending_draws,
    "sd_draws": sd_draws
})

print(posterior_draws_df)

       intercept_draws  marketing_spending_draws      sd_draws
count     10000.000000              10000.000000  10000.000000
mean          2.972130                  5.999146      1.337621
std           3.008565                  2.020708      0.471723
min          -8.562093                 -2.842438      0.029643
25%           0.972832                  4.621807      1.003229
50%           3.002940                  5.975067      1.427617
75%           5.020615                  7.362572      1.736310
max          15.228549                 13.258955      1.999834

Prediktiv fördelning

Hur stor försäljning kan vi förvänta oss om vi spenderar $1 000 på marknadsföring?

$\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$

# Get point estimates of parameters
intercept_mean = intercept_draws.mean()
marketing_spending_mean = marketing_spending_draws.mean()
sd_mean = sd_draws.mean()


# Calculate mean of predictive distribution
predictive_mean = intercept_mean + marketing_spending_mean * 1000


# Simulate from predictive distribution
prediction_draws = np.random.normal(predictive_mean, sd_mean, size=10000)

Prediktiv fördelning

Hur stor försäljning kan vi förvänta oss om vi spenderar $1 000 på marknadsföring?

En klockformad täthetskurva för förutsagd försäljning med topp kring 5 986.

Nu kör vi en övning!

Bayesiansk dataanalys i Python