Omvandla icke-linjära problem

Introduktion till optimering i Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Maximera en icke-linjär funktion

  • En konstnär producerar upp till 16 målningar med kostnaden $C(q) = \sqrt q$ där $q$ är kvantiteten
  • Invers efterfrågan är $p=\frac{3}{\sqrt q}$ där $p$ är priset
  • $\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Kvinna som målar på en duk

Introduktion till optimering i Python

SciPy eller PuLP?

  • SciPy: milp kräver en linjär målfunktion
  • PuLP:
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'
Introduktion till optimering i Python

Substituera för att linjärisera

  • Substituera $z = \sqrt q$
  • $\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
  • $\rightarrow$ kapacitetsbegränsning $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.
Introduktion till optimering i Python

Kapitalbudgetering med beroende projekt

Problembeskrivning

  • Projekt $A$, $B$, $C$; $A$ är ett krav för $B$
  • Vinster är respektive $V$ = [250, 200, 300]
  • Nödvändig investering är $I$ = [2000, 1900, 2500] och endast 4 600 $ finns tillgängliga

Modellering

  • $o_A$, $o_B$, $o_C$ binära variabler; anger om projektet väljs

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Ikon för budgethantering

Introduktion till optimering i Python

Linjärisering: produkt av binära variabler

  • Ersätt $o_Ao_B=o_{AB}$
  • Lägg till begränsningar
    • $o_{AB}\leq o_{A}$
    • $o_{AB}\leq o_{B}$
    • $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
  • Problemet reduceras till

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

Introduktion till optimering i Python

Resursallokering med utbildningskostnad

  • Fördela 120 uppgifter för att minimera kostnaden
  • Senior ($S$), junior ($J$) och praktikant ($I$)
  • Utbildningskostnad för praktikant: 500 $
  • Kostnad per uppgift $c$ = [30, 40, 5]
  • Vektor $x$: optimalt tilldelade uppgifter
  • Binär $o$: om praktikanten får utbildning
  • $TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Person med penna bredvid en stor att göra-lista

Introduktion till optimering i Python

Linjärisering: produkt av binär och kontinuerlig variabel

  • BigM-metoden introducerar ett stort tal M
  • Ersätter produkten med $z = (5x_I+500)o$
  • Inför begränsningar
    • $-oM\leq z \leq oM$
    • $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$
Introduktion till optimering i Python

Nu kör vi en övning!

Introduktion till optimering i Python

Preparing Video For Download...