Konvex optimering med bivillkor

Introduktion till optimering i Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Konvex optimering med bivillkor

Konvex funktion.

Bivillkor: begränsning på variabler
Indifferenskurva: visar kombinationer av variabler
Hitta punkten på indifferenskurvan som minimerar eller maximerar målfunktionen

Indifferenskurvan

En ung kvinna med mörkt hår arbetar vid en bärbar dator

Frilansutvecklare
Värderar arbete ($w$) och fritid ($l$)

Nyttofunktion:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

Rita indifferenskurvan

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

Indifferenskurvan

Visualisering av indifferenskurvan

Alexia är likgiltig inför den specifika kombinationen av $w$ och $l$

Tidsbegränsning

24 timmar per dygn
Linjärt likhetsbetingelse

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Lägg till bivillkoret i grafen:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Indifferenskurva och linjärt bivillkor. Indifferenskurvan vid optimal nivå är tangent mot bivillkoret. I tangentpunkten är gradienten vinkelrät mot bivillkoret och tangenten.

Lösning med SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Nu kör vi en övning!

Introduktion till optimering i Python