Перетворення нелінійних задач

Вступ до оптимізації в Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Максимізація нелінійної функції

  • Художник створює до 16 картин за витрат $C(q) = \sqrt q$, де $q$ — кількість
  • Обернений попит: $p=\frac{3}{\sqrt q}$, де $p$ — ціна
  • $\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Жінка малює на полотні

Вступ до оптимізації в Python

SciPy чи PuLP?

  • SciPy: milp очікує лінійну цільову функцію
  • PuLP:
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'
Вступ до оптимізації в Python

Лінеаризація через підстановку

  • Замінимо $z = \sqrt q$
  • $\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
  • $\rightarrow$ обмеження потужності $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.
Вступ до оптимізації в Python

Капітальне бюджетування із залежними проєктами

Постановка задачі

  • Проєкти $A$, $B$, $C$; $A$ — передумова для $B$
  • Прибутки відповідно $V$ = [250, 200, 300]
  • Потрібні інвестиції $I$ = [2000, 1900, 2500], доступно лише $4600

Моделювання

  • Бінарні $o_A$, $o_B$, $o_C$; вказують вибір проєкту

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Піктограма керування бюджетом

Вступ до оптимізації в Python

Лінеаризація: добуток бінарних змінних

  • Замінити $o_Ao_B=o_{AB}$
  • Додати обмеження
    • $o_{AB}\leq o_{A}$
    • $o_{AB}\leq o_{B}$
    • $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
  • Задача зводиться до

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

Вступ до оптимізації в Python

Розподіл ресурсів із вартістю навчання

  • Розподіліть 120 завдань, щоб мінімізувати вартість
  • Senior ($S$), junior ($J$) та стажер ($I$)
  • Вартість навчання стажера $500
  • Вартість виконання завдання $c$ = [30, 40, 5]
  • Вектор $x$: оптимально призначені завдання
  • Бінарна $o$: чи проходить стажер навчання
  • $TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Людина з олівцем поруч із великим списком завдань

Вступ до оптимізації в Python

Лінеаризація: добуток бінарної та неперервної

  • Метод BigM вводить велике число M
  • Замінює добуток на $z = (5x_I+500)o$
  • Накладає
    • $-oM\leq z \leq oM$
    • $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$
Вступ до оптимізації в Python

Давайте потренуємось!

Вступ до оптимізації в Python

Preparing Video For Download...