Опукла оптимізація з обмеженнями

Вступ до оптимізації в Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Опукла оптимізація з обмеженнями

Опукла функція.

Обмеження: ліміт на змінні
Крива байдужості: комбінації змінних
Знайдіть точку на кривій байдужості, що мінімізує або максимізує цільову функцію

Крива байдужості

Молода жінка з темним волоссям працює за ноутбуком

Фриланс-інженерка ПЗ
Цінує працю ($w$) і дозвілля ($l$)

Функція корисності:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

Побудова кривої байдужості

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

Крива байдужості

Візуалізація кривої байдужості

Алексія байдужа до конкретної комбінації $w$ і $l$

Обмеження часу

24 години на добу
Лінійне рівняння-обмеження

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Додайте обмеження на графік:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Крива байдужості й лінійне обмеження. Крива байдужості на оптимальному рівні дотикається до обмеження. У точці дотику градієнт перпендикулярний до обмеження та дотичної.

Розв'язання за допомогою SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Давайте потренуємось!

Вступ до оптимізації в Python