Väntevärde, medelvärde och varians

Grunderna i sannolikhetslära med Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Väntevärde

Väntevärde: summan av möjliga utfall viktade med deras sannolikhet.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

Grunderna i sannolikhetslära med Python

Väntevärde

Väntevärdet för en diskret slumpvariabel är summan av möjliga utfall viktade med deras sannolikhet.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

För myntkastet får vi:

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = \color{red}{0\times (1-p)} + 1\times p = p $$

Grunderna i sannolikhetslära med Python

Väntevärde (forts.)

Väntevärdet för en diskret slumpvariabel är summan av möjliga utfall viktade med deras sannolikhet.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

För myntkastet får vi:

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = 0\times (1-p) + \color{red}{1\times p} = p $$

Grunderna i sannolikhetslära med Python

Aritmetiskt medelvärde

Varje $x_i$ är utfallet från ett experiment (dvs. ett myntkast, antingen 0 eller 1).

$$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n) $$

I Python använder vi funktionen scipy.stats.describe() för att beräkna det aritmetiska medelvärdet.

from scipy.stats import describe
describe([0,1]).mean

0.5
Grunderna i sannolikhetslära med Python

Graf över stickprovsmedelvärde för 100 rättvisa myntkast

Grunderna i sannolikhetslära med Python

Graf över stickprovsmedelvärde för 1 000 rättvisa myntkast

Grunderna i sannolikhetslära med Python

Graf över stickprovsmedelvärde för 10 000 rättvisa myntkast

Grunderna i sannolikhetslära med Python

Varians

Varians är ett mått på spridning.

Det är väntevärdet av den kvadrerade avvikelsen från väntevärdet.

$$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n}p_i \times (x_i-E(X))^2 $$

I Python använder vi funktionen scipy.stats.describe() för att beräkna stickprovsvariansen.

describe([0,1]).variance

0.5
Grunderna i sannolikhetslära med Python

Väntevärde och varians för binomialfördelningen

För $X\sim Binomial(n, p)$

$$ E(X) = n \times p $$

$$ Var(X) = n \times p \times (1-p) $$

Exempel: $n=10$ och $p=0{,}5$

  • $E(X)=10\times 0{,}5 = 5$
  • $Var(X) = 10\times 0{,}5\times 0{,}5 = 2{,}5$
Grunderna i sannolikhetslära med Python

Väntevärde och varians för binomialfördelningen (forts.)

I Python använder vi metoden binom.stats() för att beräkna väntevärdet och variansen.

binom.stats(n=10, p=0.5)

(array(5.), array(2.5))
Grunderna i sannolikhetslära med Python

Väntevärde och varians för binomialfördelningen (forts.)

Vad är väntevärdet och variansen för ett rättvist myntkast?

binom.stats(n=1, p=0.5)

(array(0.5), array(0.25))

Vad är väntevärdet och variansen för ett ojust myntkast med 30% sannolikhet för framgång?

binom.stats(n=1, p=0.3)

(array(0.3), array(0.21))
Grunderna i sannolikhetslära med Python

Väntevärde och varians för binomialfördelningen (forts.)

Vad är väntevärdet och variansen för 10 rättvisa myntkast?

binom.stats(n=10, p=0.5)

(array(5.), array(2.5))
Grunderna i sannolikhetslära med Python

Nu kör vi en övning!

Grunderna i sannolikhetslära med Python

Preparing Video For Download...