Функції маси й розподілу ймовірностей

Основи теорії ймовірностей у Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Функція маси ймовірності (pmf)

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \color{red}{\binom{n}{k}}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}\color{red}{p^k}(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}p^k\color{red}{(1-p)^{n-k}} $$

Функція маси ймовірності біноміального розподілу: 10 підкидань, чесна монета

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

У Python:

binom.pmf(k, n, p)

# Ймовірність 2 орлів після 10 підкидань чесною монетою
binom.pmf(k=2, n=10, p=0.5)

0.04394531249999999

# Ймовірність 5 орлів після 10 підкидань чесною монетою
binom.pmf(k=5, n=10, p=0.5)

0.24609375000000025

# Ймовірність 50 орлів після 100 підкидань при p=0.3
binom.pmf(k=50, n=100, p=0.3)

1.3026227131445298e-05

# Ймовірність 65 орлів після 100 підкидань при p=0.7
binom.pmf(k=65, n=100, p=0.7)

0.0467796823527298

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \color{red}{\binom{n}{0}p^0(1-p)^{n}} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \color{red}{\binom{n}{1}p(1-p)^{n-1}} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \color{red}{\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}} $$

$$ $$ Функція маси ймовірності біноміального розподілу: 10 підкидань, чесна монета

$$ $$ Кумулятивна функція розподілу нормального розподілу

$$ $$ $$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

У Python:

binom.cdf(k=1, n=3, p=0.5)

# Ймовірність 5 орлів або менше після 10 підкидань чесною монетою
binom.cdf(k=5, n=10, p=0.5)

0.6230468749999999

# Ймовірність 50 орлів або менше після 100 підкидань при p=0.3
binom.cdf(k=50, n=100, p=0.3)

0.9999909653138043

# Ймовірність більше ніж 59 орлів після 100 підкидань при p=0.7
1-binom.cdf(k=59, n=100, p=0.7)

0.9875015928335618

# Ймовірність більше ніж 59 орлів після 100 підкидань при p=0.7
binom.sf(k=59, n=100, p=0.7)

0.9875015928335618

Основи теорії ймовірностей у Python