Правило Байєса

Основи теорії ймовірностей у Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Ймовірність двох підкидань монети

P(A and B) для незалежних подій

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

P(A and B) для залежних подій

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

P(A and B) для залежних подій (продовження)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A and B) дорівнює P(B and A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A and B) дорівнює P(B and A) (продовження)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

Співвідношення Байєса

$$ $$

Правило Байєса

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

Повна ймовірність

Пошкоджені деталі від усіх постачальників на діаграмі Венна

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

Повна ймовірність (продовження)

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Повна ймовірність (продовження)

Пошкоджені деталі від усіх постачальників на діаграмі Венна

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Формула Байєса

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Формула Байєса (продовження)

Формула Байєса:

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Ймовірність того, що деталь від постачальника i, за умови що вона пошкоджена:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

Формула Байєса (продовження)

Формула Байєса: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
Ймовірність того, що деталь від постачальника i, за умови що вона пошкоджена:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Візуалізація правила Байєса

Пошкоджені деталі від усіх постачальників на діаграмі Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Візуалізація правила Байєса (продовження)

Пошкоджені деталі від постачальника 1 на діаграмі Венна

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Візуалізація правила Байєса (продовження)

Пошкоджені деталі від постачальника 1 на діаграмі Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Візуалізація правила Байєса (продовження)

Пошкоджені деталі від постачальників 1 і 2 на діаграмі Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Візуалізація правила Байєса (продовження)

Пошкоджені деталі від постачальників 1, 2 і 3 на діаграмі Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Візуалізація правила Байєса (продовження)

Пошкоджені деталі від постачальників 1, 2 і 3 на діаграмі Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Візуалізація правила Байєса (продовження)

Пошкоджені деталі від постачальників 1, 2 і 3 на діаграмі Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Візуалізація правила Байєса (продовження)

Пошкоджені деталі від постачальника 1 над пошкодженими деталями від постачальників 1, 2 і 3 на діаграмі Венна

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

Візуалізація правила Байєса (продовження)

Пошкоджені деталі від постачальника 1 над пошкодженими деталями від постачальників 1, 2 і 3 на діаграмі Венна

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Приклад із заводами та деталями в Python

Певну електронну деталь виготовляють три постачальники: V1, V2 і V3.

Половину деталей виробляє V1, а V2 і V3 — по 25% кожен. Ймовірність, що деталь буде пошкоджена, якщо її виготовив V1, становить 1%, для V2 — 2%, для V3 — 3%.

Якщо відомо, що деталь пошкоджена, яка ймовірність, що її виготовив V1?

Приклад із заводами та деталями в Python (продовження)

Якщо відомо, що деталь пошкоджена, знайдіть ймовірність, що її виготовив V1.

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

Приклад із заводами та деталями в Python (продовження)

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # P(V1|D) calculation
print(P_V1_g_D)

Випадково вибрана пошкоджена деталь виготовлена V1 з імовірністю:

0.285714285714

Виконаймо вправи з Байєсом

Основи теорії ймовірностей у Python