Normalfördelningen

Kvantitativ riskhantering i R

Alexander McNeil

Professor, University of York

Definition av normalfördelningen

  • Om riskfaktorer följer GBM bör log-avkastningar vara oberoende och normalfördelade
  • Stämmer detta?
  • En variabel x är normalfördelad om den har tätheten:

$$f_X(x) = {{1} \over {\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-{{(x-\mu)^2} \over {\sigma ^ 2}}} $$

  • Beror på två parametrar: $\mu$ och $\sigma$
Kvantitativ riskhantering i R

Normalfördelningens egenskaper

  • $\mu$ är medelvärdet och $\sigma ^ 2$ är variansen
  • Vanlig notation: $X \sim N(\mu,\sigma ^2)$
  • Parametrarna skattas enkelt från data
  • Summan av 2+ oberoende normalfördelade variabler är också normalfördelad
Kvantitativ riskhantering i R

Centrala gränsvärdessatsen (CLT)

Kvantitativ riskhantering i R

Skatta en normalfördelning

  • Data: $X_1,...,X_n$
  • Momentmetoden:

$$\hat{\mu} = {1 \over n} {\sum_{t=1}^n}X_t $$

$$\hat{\sigma}^2_u = {1 \over {n - 1}} {\sum_{t=1}^n}(X_t - \hat{\mu})^2 $$

  • Tillämpning på FTSE log-avkastningar från 2008–09
Kvantitativ riskhantering i R

FTSE-exempel

head(ftse)

-0.09264548 -0.08178433 -0.07428657 -0.05870079 -0.05637430 -0.05496918

tail(ftse)

0.05266208 0.06006960 0.07742977 0.07936751 0.08469137 0.09384244

mu <- mean(ftse)
sigma <- sd(ftse)
c(mu, sigma)

-0.0003378627  0.0194090385
Kvantitativ riskhantering i R

Visualisera den anpassade normalfördelningen

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)

lines(ftse, dnorm(ftse, mean = mu, sd = sigma), col = "red")

Kvantitativ riskhantering i R

Nu kör vi en övning!

Kvantitativ riskhantering i R

Preparing Video For Download...