Anpassa en Kaplan-Meier-skattare
Överlevnadsanalys i Python
Shae Wang
Senior Data Scientist
Vad är Kaplan-Meier-skattaren?
En icke-parametrisk statistik som skattar överlevnadsfunktionen för tid-till-händelse-data.
- Kallas också
- produktgräns-skattaren
- K-M-skattaren
- Icke-parametrisk: konstruerar en överlevnadskurva från insamlad data utan att anta någon underliggande fördelning
Den matematiska intuitionen
Definitioner:
- $t_i$: en tidpunkt
- $d_i$: antal händelser vid tid $t_i$
- $n_i$: antal individer som är kända att ha överlevt till tid $t_i$
Överlevnadsfunktionen $S(t)$ skattas med: $$S(t)=\prod_{i:t_i\leq t}\bigg(1-\frac{d_i}{n_i}\bigg)$$
Varför kallas den produktgräns-skattaren?
Anta att vi har händelser vid 3 tidpunkter: 1, 2, 3
Överlevnadsgrad för $t=2$: $$S(t=2)=\bigg(1-\frac{d_1}{n_1}\bigg)*\bigg(1-\frac{d_2}{n_2}\bigg)$$
Överlevnadsgrad för $t=3$: $$S(t=3)=S(t=2)*\bigg(1-\frac{d_3}{n_3}\bigg)$$
Överlevnadsgraden vid tid t är lika med produkten av sannolikheten att överleva vid tid t och varje tidigare tidpunkt.
Antaganden att ha i åtanke
- Entydiga händelser: den intressanta händelsen inträffar vid en tydligt angiven tidpunkt.
- Jämförbara överlevnadssannolikheter: individers överlevnadssannolikheter beror inte på när de gick in i studien.
- Censurering är icke-informativ: censurerade observationer har samma överlevnadsutsikter som observationer som fortsätter att följas.
Kaplan-Meier-skattaren med lifelines
from lifelines import KaplanMeierFitter
KaplanMeierFitter: en klass i biblioteket lifelines
kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations, event_observed)
Exempel: bolåneproblemet
DataFrame-namn: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
Exempel: bolåneproblemet
DataFrame-namn: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
from lifelines import KaplanMeierFitter
mortgage_kmf = KaplanMeierFitter()
mortgage_kmf.fit(duration=mortgage_df["duration"],
event_observed=mortgage_df["paid_off"])
<lifelines.KaplanMeierFitter:"KM_estimate",
fitted with 100 total observations,
18 right-censored observations>
Använda Kaplan-Meier-skattaren
Vad är mediantiden för ett utestående bolån?
print(mortgage_kmf.median_survival_time_)
4.0
Vilken är sannolikheten att ett bolån är utestående varje år efter att det tecknades?
print(mortgage_kmf.survival_function_)
KM_estimate
timeline
0.0 1.000000
1.0 0.983267
2.0 0.950933
3.0 0.892328
Använda Kaplan-Meier-skattaren
Vad är sannolikheten att ett bolån inte är avbetalt efter 34 år?
mortgage_kmf.predict(34)
0.037998
Fördelar och begränsningar
Fördelar
- Intuitiv tolkning av överlevnadssannolikheter.
- Flexibel och användbar för alla typer av tid-till-händelse-data.
- Vanligtvis den första modellen att pröva på tid-till-händelse-data.
Begränsningar
- Överlevnadskurvan är inte slät.
- Om 50 % eller mer av datan är censurerad kan
.median_survival_time_inte beräknas. - Inte effektiv för att analysera kovariaters påverkan på överlevnadsfunktionen.
Nu kör vi en övning!
Överlevnadsanalys i Python
