Beräkning av förväntad livslängd

Värdering av livförsäkringsprodukter i R

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

Den diskreta framtida livslängden

  • $K_x = \lfloor T_x \rfloor$, antalet hela år som $(x)$ $\quad \,$ lever i framtiden.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

  • Beräkna $Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}{5}p\{65} - {}_{6}p_{65}$.
# 5-year deferred mortality probability of (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Alternatively
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664
Värdering av livförsäkringsprodukter i R

Diskret förväntad livslängd

  • Väntevärdet av $K_x$ kallas diskret förväntad livslängd:

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

Värdering av livförsäkringsprodukter i R

En superhjältes förväntade livslängd

 

Mr. Incredible är 35 år och bor i Belgien.

Som frilansande superhjälte behöver han ta hand om sin ekonomiska planering.

Vad är en rimlig uppskattning av hans diskreta framtida livslängd?

Kan du hjälpa till?

Värdering av livförsäkringsprodukter i R

En superhjältes förväntade livslängd i R

Beräkna $E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$.

# one-year survival probabilities
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# k-year survival probabilities of (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# curtate expected future lifetime of (35)
sum(kp35)

43.53192
Värdering av livförsäkringsprodukter i R

Förväntad framtida livslängd

  • Hur går vi från $E[K_x]$ till $E[T_x]$?

  • Alltså: från diskret till fullständig förväntad livslängd?

  • Använd:

    $$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

Värdering av livförsäkringsprodukter i R

En superhjältes förväntade livslängd i R

Jämför $E[K_{35}]$ med $E[T_{35}]$.

# Curtate life expectancy of (35)
sum(kp35)

43.53192

# Complete life expectancy of (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03
Värdering av livförsäkringsprodukter i R

Nu kör vi en övning!

Värdering av livförsäkringsprodukter i R

Preparing Video For Download...