Livräntan i helhet, temporär och uppskjuten

Värdering av livförsäkringsprodukter i R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

En serie förmåner

Vad händer om?
- Förmånen är $c_k$ EUR i stället för 1 EUR?
- En serie sådana rena kapitalförsäkringar i stället för bara en?

Allmän formulering

En livränta på $(x)$ med förmånsvektor

$$ (c_0,c_1, \ldots, c_k, \ldots) $$
En följd av rena kapitalförsäkringar:
- var och en med $c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x$ som förväntat nuvärde (EPV)
- tillsammans:

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x $$

$\quad \, \quad \,$ EPV.

Livräntor i R

benefits <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:7)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(71 + 1)]))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

1945.545

Livslång annuitet i förskott

Livslång annuitet förskott: betala $c_k$ vid början av år $(k+1)$.

Livslång annuitet i efterskott

Livslång efterskottsannuitet: betala $c_k$ vid slutet av år $(k+1)$.

Livslånga annuiteter i R

Beräkna $\ddot{a}_{35}$ (förskott) för konstant ränta $i = 3\%$

# whole-life annuity due of (35)
kpx <- 
  c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))
discount_factors <- 
  (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

24.44234

och $a_{35}$ (efterskott)

# whole-life immediate annuity of (35)
kpx <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
discount_factors <- 
   (1 + 0.03) ^ - (1:length(kpx))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

23.44234

Temporär livränta i förskott

Temporär förskottsannuitet: högst $n$ år, från tid $0$ till $n-1$.

Uppskjuten livslång annuitet i förskott

Uppskjuten livslång förskottsannuitet: inga utbetalningar under de första $u$ åren.

Nu kör vi en övning!

Värdering av livförsäkringsprodukter i R