Slumpmässig framtida livslängd

Värdering av livförsäkringsprodukter i R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Den slumpmässiga framtida livslängden

$(x)$ betecknar en individ som är $x$ år gammal just nu, där $x \geq 0$.
Slumpvariabeln $T_x$ är den framtida livslängden för $(x)$.
Dödsåldern för $(x)$ är alltså $x + T_x$.

Livstabellen i R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table innehåller periodlivstabellen för belgiska män år 2013.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Dödlighetskvoter och överlevnadssannolikheter

Ettårssannolikheten att dö

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ är dödlighetskvoten vid ålder $x$.
Ettårssannolikheten att överleva

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Alltså gäller $p_x = 1 - q_x$.

Dödlighetskvoter för belgiska idrottare i R

Eden Hazard är en belgisk fotbollsspelare som spelar för Chelsea och är 27 år gammal.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx är en belgisk cyklist som vann Tour de France 5 gånger och är 72 år gammal.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Visualisering av belgiska dödlighetskvoter $q_x$ i R

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

Medellivslängden

Den (fullständiga) förväntade framtida livslängden för $(x)$ är $E[T_x]$
För Eden Hazard som är 27 år gammal:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

För Eddy Merckx som är 72 år gammal:

ex[72 + 1]

12.67

Visualisering av medellivslängden i R

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Nu kör vi en övning!

Värdering av livförsäkringsprodukter i R