Hel-, tidsbegränsad och uppskjuten livförsäkring

Värdering av livförsäkringsprodukter i R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

En serie ettårskontrakt

Vad händer om?
- Ersättningen är $b_k$ EUR i stället för 1 EUR?
- En serie ettårskontrakt i stället för bara ett?

Allmän inramning

En livförsäkring på $(x)$ med dödsförmånsvektor

$$ (b_0,b_1, \ldots, b_k, \ldots) $$
Serie av ettårskontrakt:
- Vart och ett med $ b_k \cdot v(k+1) \cdot {}_{k}p_x \cdot q_{x+k} $ som förväntat nuvärde (EPV)
- Tillsammans:

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \cdot v(k+1) \cdot {}_kp_x \cdot q_{x+k} = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \cdot v(k+1) \cdot {}_{k|}q_{x}$$

$\quad \, \quad \,$ EPV.

Hel livförsäkring

Hel livförsäkring: livslång.

Tidsbegränsad livförsäkring

Tidsbegränsad (eller: term) livförsäkring: maximalt $n$ år.

Uppskjuten hel livförsäkring

Uppskjuten hel livförsäkring: inga utbetalningar under de första $u$ åren.

Livförsäkringar i R

Beräkna $A_{35}$ för konstant ränta $i = 3\%$.

# Whole-life insurance of (35)
kpx <- c(1, cumprod(px[(35 + 1):(length(px) - 1)]))
kqx <-  kpx * qx[(35 + 1):length(qx)]
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (1:length(kqx))
benefits <- rep(1, length(kqx))
sum(benefits * discount_factors * kqx)

0.2880872

Beräkna nu ${}_{20|}A_{35}$.

# Deferred whole-life insurance of (35)
kpx <- c(1, cumprod(px[(35 + 1):(length(px) - 1)]))
kqx <-  kpx * qx[(35 + 1):length(qx)]
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (1:length(kqx))
benefits <- c(rep(0, 20), rep(1, length(kqx) - 20))
sum(benefits * discount_factors * kqx)

0.2552956

Nu kör vi en övning!

Värdering av livförsäkringsprodukter i R