Utan risk, ingen vinst

GARCH-modeller i R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

GARCH-in-mean-modellen

Kvantifiera avvägningen mellan risk och avkastning.
Risk: $\sigma^2_t$. Avkastning: $\mu_t$.
GARCH-in-mean-modellen:

$$ \mu_{t} = \mu + \lambda \sigma^2_{t} $$

$\lambda > 0$ är risk/avkastnings-parametern och anger ökningen i förväntad avkastning per enhet variansrisk.

Hur?

Ändra argumentet mean.model i ugarchspec() från list(armaOrder = c(0, 0)) till list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2):

garchspec <- ugarchspec(
              mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
              variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
              distribution.model = "sstd")

garchspec <- ugarchspec(
               mean.model = list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2),
               variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
               distribution.model = "sstd")

Tillämpning på dagliga S&P 500-avkastningar

Skattning

garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

Granskning av skattade koefficienter för medelvärdet

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

    mu  archm 
0.0002 1.9950

Förutsagda medelvärdesavkastningar

$$ \hat{\mu}_{t} = 0.0002 + 1.9950 \hat{\sigma}^2_{t} $$

Tidsserieplot över förutsagda avkastningar

Plotta dem i R
```
plot(fitted(garchfit))
```

Dagens avkastning förutsäger morgondagens

GARCH-in-mean-modellen använder finansteorins avvägning mellan risk och avkastning för att bygga en modell för det betingade medelvärdet.
Nu ska vi använda statistisk teori för att skapa en medelvärdetsmodell som utnyttjar korrelationen mellan dagens och morgondagens avkastning.
Den vanligaste modellen är AR(1)-modellen:
- AR(1) står för autoregressiv modell av ordning 1.
- Den förutsäger nästa avkastning med hjälp av avvikelsen från det långsiktiga medelvärdet $\mu$:

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

En positiv autoregressiv koefficient

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho > 0$:
- En högre (resp. lägre) avkastning än genomsnittet följs av en högre (resp. lägre) avkastning än genomsnittet.
- Möjlig förklaring: marknader underreagerar på nyheter, vilket skapar momentum i avkastningarna.
$|\rho|<1$: Medelvärdesåtergång: Avvikelserna i $R_t$ från $\mu$ är tillfälliga.

En negativ autoregressiv koefficient

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho < 0$:
- En högre (resp. lägre) avkastning än genomsnittet följs av en lägre (resp. högre) avkastning än genomsnittet.
- Möjlig förklaring: marknader överreagerar på nyheter, vilket leder till reversering i avkastningarna.

Tillämpning på dagliga S&P 500-avkastningar

Specifikation och skattning av AR(1)-GJR GARCH med sst-fördelning

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

Skattningar av AR(1)-modellen

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

     mu     ar1     
 0.0003 -0.0292

MA(1)- och ARMA(1,1)-modellen

Glidande medelvärdesmodellen av ordning 1 använder avvikelsen mellan avkastningen och dess betingade medelvärde:

$$ \mu_{t} = \mu + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

ARMA(1,1) kombinerar AR(1) och MA(1):

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

Hur?

MA(1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(0, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

ARMA(1, 1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

Din tur att ändra argumentet mean.model

GARCH-modeller i R