GARCH-modeller: Vägen framåt

GARCH-modeller i R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Uppfinnarna av GARCH-modeller

Robert Engle

Engle

Tim Bollerslev

Bollie

Förutsagda volatiliteter

Vid tidpunkt $t-1$ gör du en prognos om den framtida avkastningen $R_t$, med hjälp av den informationsmängd som finns tillgänglig vid tidpunkt $t-1$:

Förutsagda volatiliteter

Prognos av medelavkastningen: vad är den bästa möjliga prognosen av den faktiska avkastningen?

Därefter förutsäger vi variansen: hur långt kan avkastningen avvika från sitt medelvärde?

Vi behöver en ekvation som mappar historiska avkastningar till en prognos av medelvärdet

För AR(MA)-modeller för medelvärdet, se DataCamps kurs om tidsserieanalys.

Vi behöver en ekvation som mappar historiska avkastningar till prognoser av variansen

Vi behöver en ekvation som mappar historiska avkastningar till prognoser av variansen

Vi behöver en ekvation som mappar historiska avkastningar till prognoser av variansen

För att GARCH-processen ska vara realistisk krävs att:

$\omega$, $\alpha$ och $\beta$ är $>0$: detta säkerställer att $\sigma^2_t >0$ alltid gäller.
$\alpha + \beta < 1$: detta säkerställer att den förutsagda variansen $\sigma^2_t$ alltid återgår till den långsiktiga variansen:
- Variansen är därför "medelvärdesåtergående"
- Den långsiktiga variansen är $ \frac{\omega}{1-\alpha-\beta}$

$$ \sigma^{2}_{t} = \omega + \alpha e^{2}_{t-1} \beta \sigma^{2}_{t-1} $$

# Set parameter values
alpha <- 0.1
beta <- 0.8
omega <- var(sp500ret) * (1 - alpha - beta)
# Then: var(sp500ret) = omega / (1 - alpha - beta)

# Set series of prediction error
e <- sp500ret - mean(sp500ret) # Constant mean
e2 <- e ^ 2

# We predict for each observation its variance. 
nobs <- length(sp500ret)
predvar <- rep(NA, nobs)

# Initialize the process at the sample variance
predvar[1] <- var(sp500ret)

# Loop starting at 2 because of the lagged predictor
for (t in 2:nobs){
   predvar[t] <- omega + alpha * e2[t - 1] + beta * predvar[t-1]
}

# Volatility is sqrt of predicted variance
predvol <- sqrt(predvar)
predvol <- xts(predvol, order.by = time(sp500ret))

# We compare with the unconditional volatility
uncvol <- sqrt(omega / (1 - alpha-beta))
uncvol <- xts(rep(uncvol, nobs), order.by = time(sp500ret))

# Plot
plot(predvol)
lines(uncvol, col = "red", lwd = 2)

Förutsagda volatiliteter

GARCH-modeller i R