Paketet rugarch

GARCH-modeller i R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Den normala GARCH(1,1)-modellen med konstant medelvärde

Den normala GARCH-modellen

$$ R_t = \mu + e_t $$ $$ e_t \sim N(0, \sigma^2_t) $$ $$ \sigma^2_t = \omega + \alpha e^2_{t-1} + \beta \sigma^2_{t-1} $$

Fyra parametrar: $\mu, \omega, \alpha, \beta$.
Skattning med maximum likelihood: hitta de parametervärden för vilka GARCH-modellen med störst sannolikhet har genererat den observerade avkastningsserien.

Alexios Ghalanos

library(rugarch)
citation("rugarch")

To cite the rugarch package, please use:

Alexios Ghalanos (2018). rugarch: Univariate GARCH models.R package version 1.4-0.

Arbetsflöde

Tre steg:
- ugarchspec(): Specificera vilken GARCH-modell du vill använda (medelvärde $\mu_t$, varians $\sigma^2_t$, fördelning för $e_t$)
  - ugarchfit(): Skatta GARCH-modellen på din tidsserie med avkastningar $R_1,...,R_T$.
  - ugarchforecast(): Använd den skattade GARCH-modellen för att göra volatilitetsprognoser för $R_{T+1}$,...

Arbetsflöde i R

ugarchspec() specificerar vilken GARCH-modell du vill använda.

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                           variance.model = list(model = "sGARCH"),
                           distribution.model = "norm")

ugarchfit() skattar GARCH-modellen.

garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

ugarchforecast() prognostiserar volatiliteten för framtida avkastningar.

garchforecast <- ugarchforecast(fitORspec = garchfit, n.ahead = 5)

ugarchfit-objektet

ugarchfit returnerar ett objekt med alla resultat från skattningen av GARCH-modellen.
Metoder: coef, uncvar, fitted och sigma:

# Coefficients
garchcoef <- coef(garchfit)
# Unconditional variance
garchuncvar <- uncvariance(garchfit)
# Predicted mean
garchmean <- fitted(garchfit) 
# Predicted volatilities
garchvol <- sigma(garchfit)

GARCH-koefficienter för dagliga S&P 500-avkastningar

print(garchcoef)

          mu        omega       alpha1        beta1 
5.728020e-04 1.220515e-06 7.792031e-02 9.111455e-01

$$ R_{t} = 5.7 \times 10^{-4} + e_{t} $$ $$ e_{t} \sim N(0, \hat{\sigma}^{2}_{t}) $$ $$ \hat{\sigma}^{2}_{t} = 1.2 \times 10^{-6} + 0.08 e^{2}_{t-1} + 0.91 \hat{\sigma}^{2}_{t-1} $$

sqrt(garchuncvar)

0.01056519

Skattade volatiliteter

garchvol <- sigma(garchfit)
plot(garchvol)

Framtida volatilitet?

tail(garchvol, 1)

2017-12-29 0.004862908

Vad händer med volatiliteten för dagarna efter tidsseriens slut?

Prognostisera volatilitet h dagar framåt

Metoden sigma() applicerad på ugarchforecast-objektet ger volatilitetsprognoserna:

sigma(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.005034754
T+2  0.005127582
T+3  0.005217770
T+4  0.005305465
T+5  0.005390797

Prognostisera volatilitet h dagar framåt

Metoden fitted() applicerad på ugarchforecast-objektet ger medelvärdesprognosen:

fitted(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.000572802
T+2  0.000572802
T+3  0.000572802
T+4  0.000572802
T+5  0.000572802

Tillämpning på taktisk tillgångsallokering

En portfölj som investerar andelen $w$ i en riskfylld tillgång (med volatilitet $\sigma_t$) och behåller $1-w$ på ett riskfritt bankkonto har volatiliteten

$$ \sigma_p = w \sigma_t$$

Hur sätter man $w$? En metod är volatilitetsmålstyrning: $w$ väljs så att den prognostiserade annualiserade portföljvolatiliteten uppnår en målnivå, exempelvis 5 %. Då gäller:

$$ w^* = 0.05 /\sigma_t $$

Eftersom GARCH-volatiliteter förändras, förändras också den optimala vikten.

Nu kör vi en övning!

GARCH-modeller i R