Validera dina antaganden om medelvärde och varians

GARCH-modeller i R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Kontroll 1: Medelvärde och standardavvikelse för standardiserade avkastningar

Beräkna standardiserade avkastningar

$$ Z_{t} = \frac{R_{t} - \hat{\mu_{t}}}{ \hat{\sigma_{t}}} $$

Första kontrollen av modellens giltighet:
- Stickprovets medelvärde för standardiserade avkastningar $\approx$ 0
- Stickprovets standardavvikelse för standardiserade avkastningar $\approx$ 1

Kontroll 2: Tidsserieplot över standardiserade avkastningar

Andra kontrollen av modellens giltighet:
- tidsserieplot över standardiserade avkastningar
- standardiserade avkastningar ska ha konstant variabilitet

Kontroll 3: Ingen förutsägbarhet i de absoluta standardiserade avkastningarna

Tredje kontrollen av modellens giltighet:
- verifiera att det inte finns någon korrelation mellan den tidigare absoluta standardiserade avkastningen och den aktuella.
- det innebär: $ Corr(|Z_{t-k}|, |Z_{t}|) \approx 0, $ för $k>0$
Varför?
- Storleken på den absoluta standardiserade avkastningen ska vara konstant $\rightarrow$ inga korrelationer i de absoluta standardiserade avkastningarna.

Autokorrelationer

Sådana korrelationer inom en tidsserie kallas autokorrelationer av ordning k
- $k=1$: $Corr(|Z_{t-1}|, |Z_{t}|)$: Korrelation mellan den aktuella absoluta standardiserade avkastningen och dess föregående värde.
- $k=2$: $Corr(|Z_{t-2}|, |Z_{t}|)$: Korrelation mellan den aktuella absoluta standardiserade avkastningen och dess värde två perioder tillbaka.
- ...
Alla dessa ska vara 0. Undantag:
- $k=0$: $Corr(|Z_{t}|, |Z_{t}|)$: Korrelation av den absoluta standardiserade avkastningen med sig själv: lika med 1.

acf()

I R beräknar vi autokorrelationer med autokorrelationsfunktionen acf()
- Indata: tidsserie, maximal ordning
- Utdata: korrelogrammet: ett diagram som visar autokorrelationernas värden för olika ordningar $k = 0, 1, ...$.

Tillämpning på MSFT

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                        distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec)
stdmsftret <- residuals(garchfit, standardize = TRUE)

acf(abs(msftret), 22)
acf(abs(stdmsftret), 22)

Kontroll 4: Ljung-Box-testet

Fjärde kontrollen av modellens giltighet:
- Ljung-Box-testet, som prövar om de första k autokorrelationerna i de absoluta standardiserade avkastningarna $|Z_t$| är noll: $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-k}|) = 0 $$
- Liknar ett $t$-test för statistisk signifikans hos de skattade parametrarna, men här vill vi ha 0 för att modellen ska vara giltig.

Tumregel: ett p-värde under 5 % indikerar att modellen inte är giltig.

Ljung-Box-testet i R

I R: funktionen Box.test() med 3 argument:
- serie
- maximal ordning för vilken autokorrelationerna är noll
- type = "Ljung-Box"

Exempel:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

Utdata: p-värde
- Tumregel: ett p-värde under 5 % indikerar att modellen inte är giltig.

Box.test med absoluta standardiserade MSFT-avkastningar

Test på absoluta standardiserade avkastningar:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

    Box-Ljung test
data:  abs(stdmsftret)
X-squared = 25.246, df = 22, p-value = 0.2855

Obs: p-värdet är 28,55 % > 5 %. Vi kan inte förkasta att: $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-22}|) = 0 $$

Nu kör vi en övning!

GARCH-modeller i R