Multivariata t-fördelningar

Multivariata sannolikhetsfördelningar i R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Parametrar för multivariata fördelningar

Fördelning	Platsparameter	Skalparameter
Normal	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Skev-normal	`xi`	`Omega`
Skev-t	`xi`	`Omega`

Parametrar för multivariata fördelningar

Fördelning	Platsparameter	Skalparameter	Frihetsgrader
Normal	`mean`	`sigma`	Nej
t	`delta`	`sigma`	Ja
Skev-normal	`xi`	`Omega`	Nej
Skev-t	`xi`	`Omega`	Ja

Jämförelse av univariat normal- och t-fördelning

Jämförelse

Standard normalfördelning
t med olika df

Jämförelse av svansar för normal- och t-fördelning

Tjockare svansar vid samma gränsvärde

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

Fördelning	Sannolikhet
Normal	0,05
t(df=1)	0,3
t(df=8)	0,0857
t(df=20)	0,0641
t(df=30)	0,0593

Notation för multivariat t-fördelning

Generalisering av den univariata Students t-fördelning
- Den vanligaste varianten har bara en frihetsgrad för alla dimensioner och betecknas

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

Konturer för bivariat normal- och t-fördelning

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Konturer för t med df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

Konturer för bivariat normalfördelning

Funktioner för multivariata t-fördelningar

Funktioner inkluderar:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Generera slumpmässiga stickprov

Generera stickprov från en 3-dimensionell t med $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Jämförelse med normalfördelade stickprov

t-fördelning med 4 frihetsgrader

Normalfördelning

Jämförelse med normalfördelade stickprov

t-fördelning med 10 frihetsgrader

Normalfördelning

Nu kör vi en övning!

Multivariata sannolikhetsfördelningar i R