Kumulativ fördelning och invers CDF

Multivariata sannolikhetsfördelningar i R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

När behöver vi beräkna CDF och invers CDF?

Normaltäthet med $\mu=210$ och $\sigma=10$

När behöver vi beräkna CDF och invers CDF?

Area under kurvan för $x < 200$

När behöver vi beräkna CDF och invers CDF?

pnorm(200, mean = 210, sd = 10)

[1] 0.159

När behöver vi beräkna CDF och invers CDF?

Vilket $x_0$ ger en kumulativ sannolikhet på 0,95?


qnorm( p = 0.95, mean = 210, sd = 10)


[1] 226.45

$\Rightarrow$ 95 % av kaffeburkarna innehåller mindre än 226,45 gram kaffe

Kumulativ fördelning för en bivariat normalfördelning

Bivariat CDF vid x = 2 och y = 4 för en normalfördelning med ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{pmatrix}}$

Kumulativ fördelning med pmvnorm

Bivariat CDF vid x = 2 och y = 4 för en normalfördelning med ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 2), 2)

pmvnorm(upper = c(2, 4), mean = mu1, sigma = sigma1)

[1] 0.79
attr(,"error")
[1] 1e-15
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

Sannolikhet mellan två värden med pmvnorm

Sannolikhet för $ 1 < x <2$ och $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

Sannolikhet mellan två värden med pmvnorm

Sannolikhet för $ 1 < x <2$ och $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

[1] 0.163

Invers CDF för bivariat normalfördelning

Mörkröd ellips är 0,95-kvantilen

qmvnorm

Beräkna kvantiler med qmvnorm

sigma1 <- diag(2)
sigma1

     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

qmvnorm(p = 0.95, sigma = sigma1, tail = "both")

$quantile
[1] 2.24
$f.quantile
[1] -1.31e-06
attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

Den röda cirkeln med radien 2,24 innehåller 0,95 av sannolikheten

Nu kör vi en övning!

Multivariata sannolikhetsfördelningar i R