Multivariata snedfördelningar

Multivariata sannolikhetsfördelningar i R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Skev multivariat fördelning: spridningsdiagram

Flödescytometridata – sidospridning (SSC) och framåtspridning (FSC)

Skev multivariat fördelning: konturdiagram

Flödescytometridata – sidospridning (SSC) och framåtspridning (FSC)

Univariat skev-normalfördelning

Den allmänna skev-normalfördelningen betecknas $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ och $\omega$ är läges- och skalparametrarna

Enklaste formen: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ är snedhetens parameter

Intervall för univariata skev-normalfördelningar

Jämförelse av $SN(\alpha)$ med en standard-normalfördelning

För $\alpha>0$ sned åt höger
För $\alpha<0$ sned åt vänster
$SN(0)$ är identisk med en standard-normalfördelning

Multivariat skev-normalfördelning

Notation: tredimensionell multivariat skev-normalfördelning

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ lägesparameter (vektor av längd $3$)
$\Omega$ varians-kovariansparameter ($3 \times 3$ matris)
$\alpha$ snedhetens parameter (vektor av längd $3$)

Konturdiagram för bivariat skev-normalfördelning

Bivariat skev-normal

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Funktioner för skev-normalfördelning

Från biblioteket sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Kräver att xi, Omega, alpha anges

Funktioner för skev-t-fördelning

Från biblioteket sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Kräver att xi, Omega, alpha, nu (frihetsgrader) anges

Generera skev-normala sampel

Generera 2 000 sampel från en tredimensionell skev-normalfördelning

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Specify xi, Omega and alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Generate samples
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Sampel från skev-normalfördelning

Generera skev-t-sampel

Generera 2 000 sampel från en tredimensionell skev-t-fördelning med

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Generate samples
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Skattning av parametrar från data

Parametrarna i en skev-normalfördelning kräver en iterativ algoritm för att skattas
- Ingen explicit formel finns för att beräkna parametrarna
Flera funktioner finns i paketet sn, bland annat msn.mle()

Skattning av parametrar från data

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Samplen genererades med:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Nu kör vi en övning!

Multivariata sannolikhetsfördelningar i R