การแจกแจง t หลายตัวแปร

การแจกแจงความน่าจะเป็นหลายตัวแปรใน R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

พารามิเตอร์ของการแจกแจงหลายตัวแปร

การแจกแจง	พารามิเตอร์ตำแหน่ง	พารามิเตอร์สเกล
Normal	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Skew-normal	`xi`	`Omega`
Skew-t	`xi`	`Omega`

พารามิเตอร์ของการแจกแจงหลายตัวแปร

การแจกแจง	พารามิเตอร์ตำแหน่ง	พารามิเตอร์สเกล	ดีกรีแห่งอิสระ
Normal	`mean`	`sigma`	ไม่มี
t	`delta`	`sigma`	มี
Skew-normal	`xi`	`Omega`	ไม่มี
Skew-t	`xi`	`Omega`	มี

เปรียบเทียบการแจกแจง normal และ t แบบตัวแปรเดียว

การเปรียบเทียบ

Normal มาตรฐาน
t ที่มีค่า df ต่างกัน

เปรียบเทียบหางของการแจกแจง normal และ t

หางอ้วนกว่าที่จุดตัดเดียวกัน

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

การแจกแจง	ความน่าจะเป็น
Normal	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

สัญลักษณ์ของการแจกแจง t หลายตัวแปร

เป็นการขยายการแจกแจง t ของ Student แบบตัวแปรเดียว
- รูปแบบที่ใช้กันทั่วไปมีดีกรีแห่งอิสระเดียวสำหรับทุกมิติ และเขียนแทนด้วย

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

เส้นชั้นของการแจกแจง bivariate normal และ t

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

เส้นชั้นของ t ที่ df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

เส้นชั้นของ bivariate normal

ฟังก์ชันสำหรับการแจกแจง t หลายตัวแปร

ฟังก์ชันที่ใช้ได้ มีดังนี้
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

การสุ่มตัวอย่าง

สร้างตัวอย่างจากการแจกแจง t แบบ 3 มิติ โดยที่ $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

เปรียบเทียบกับตัวอย่างจากการแจกแจง normal

การแจกแจง t ที่มีดีกรีแห่งอิสระ 4

การแจกแจง normal

เปรียบเทียบกับตัวอย่างจากการแจกแจง normal

การแจกแจง t ที่มีดีกรีแห่งอิสระ 10

การแจกแจง normal

มาสร้างตัวอย่างจากการแจกแจง t หลายตัวแปรกันเถอะ!

การแจกแจงความน่าจะเป็นหลายตัวแปรใน R