Кумулятивний розподіл і обернена CDF

Багатовимірні ймовірнісні розподіли в R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Коли потрібно обчислювати CDF та обернену CDF?

Нормальна густина з $\mu=210$ та $\sigma=10$

Коли потрібно обчислювати CDF та обернену CDF?

Площа під кривою для $x < 200$

Коли потрібно обчислювати CDF та обернену CDF?

pnorm(200, mean = 210, sd = 10)

[1] 0.159

Коли потрібно обчислювати CDF та обернену CDF?

Яке $x_0$ таке, що кумулятивна ймовірність при $x_0$ дорівнює 0,95?


qnorm( p = 0.95, mean = 210, sd = 10)


[1] 226.45

$\Rightarrow$ 95% банок кави міститимуть менше ніж 226.45 грама кави

Кумулятивний розподіл для двовимірного нормального

Двовимірна CDF при x = 2 та y = 4 для нормального розподілу з ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{pmatrix}}$

Кумулятивний розподіл за допомогою pmvnorm

Двовимірна CDF при x = 2 та y = 4 для нормального розподілу з ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 2), 2)

pmvnorm(upper = c(2, 4), mean = mu1, sigma = sigma1)

[1] 0.79
attr(,"error")
[1] 1e-15
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

Ймовірність між двома значеннями за допомогою pmvnorm

Ймовірність $ 1 < x <2$ та $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

Ймовірність між двома значеннями за допомогою pmvnorm

Ймовірність $ 1 < x <2$ та $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

[1] 0.163

Обернена CDF для двовимірного нормального

Темно-червона еліпса — квантиль 0,95

qmvnorm

Обчислення квантилів за допомогою qmvnorm

sigma1 <- diag(2)
sigma1

     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

qmvnorm(p = 0.95, sigma = sigma1, tail = "both")

$quantile
[1] 2.24
$f.quantile
[1] -1.31e-06
attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

Червоне коло радіуса 2.24 містить 0,95 імовірності

Давайте потренуємось!

Багатовимірні ймовірнісні розподіли в R