Багатовимірні розподіли зі зміщенням

Багатовимірні ймовірнісні розподіли в R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Зміщений багатовимірний розподіл: діаграма розсіювання

Дані проточної цитометрії — бічне розсіювання (SSC) та пряме розсіювання (FSC)

Зміщений багатовимірний розподіл: контурний графік

Дані проточної цитометрії — бічне розсіювання (SSC) та пряме розсіювання (FSC)

Одновимірний skew-normal розподіл

Загальний skew-normal позначають як $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ та $\omega$ — параметри положення і масштабу

Найпростіший вигляд: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ — параметр асиметрії

Діапазон одновимірних skew-normal розподілів

Порівняння $SN(\alpha)$ зі стандартним нормальним

Для $\alpha>0$ — зміщення праворуч
Для $\alpha<0$ — зміщення ліворуч
$SN(0)$ збігається зі стандартним нормальним

Багатовимірний skew-normal розподіл

Позначення: тривимірний багатовимірний skew-normal розподіл

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ — параметр положення (вектор довжини $3$)
$\Omega$ — параметр дисперсії-коваріації ($3 \times 3$ матриця)
$\alpha$ — параметр асиметрії (вектор довжини $3$)

Контурний графік двовимірного skew-normal розподілу

Двовимірний skew-normal

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Функції для skew-normal розподілу

З бібліотеки sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Потрібно задати xi, Omega, alpha

Функції для skew-t розподілу

З бібліотеки sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Потрібно задати xi, Omega, alpha, nu (ступені свободи)

Генерування вибірок skew-normal

Згенеруйте 2000 вибірок із тривимірного skew-normal

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Specify xi, Omega and alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Generate samples
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Вибірка з skew-normal розподілу

Генерування вибірок skew-t

Згенеруйте 2000 вибірок із тривимірного skew-t з

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Generate samples
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Оцінювання параметрів за даними

Потрібен ітеративний алгоритм, щоб оцінити параметри skew-normal розподілу
- Немає явної формули для їх обчислення
У пакеті sn є кілька функцій, зокрема msn.mle()

Оцінювання параметрів за даними

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Вибірки були згенеровані з:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

А тепер виконаймо вправи зі skew-normal розподілами!

Багатовимірні ймовірнісні розподіли в R