Poissonregression

Bayesiansk modellering med RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Normalfördelningens likelihoodstruktur

$Y$ = volym (# användare) en given dag
$Y \sim N(m, s^2)$

Tekniskt sett...

Normalmodellen antar att $Y$ är kontinuerlig och kan vara negativ.
Men $Y$ är ett diskret antal och kan inte vara negativt.

Poissonmodellen

$Y$ = volym (# användare) en given dag
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ är antalet oberoende händelser som inträffar i ett fast intervall (0, 1, 2,...).
Hastighetsparametern $l$ representerar det typiska antalet händelser per tidsintervall
($l > 0$).

Poissonmodellen

$Y$ = volym (# användare) en given dag
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ är antalet oberoende händelser som inträffar i ett fast intervall (0, 1, 2,...).
Hastighetsparametern $l$ representerar det typiska antalet händelser per tidsintervall
($l > 0$).

Poissonmodellen

$Y$ = volym (# användare) en given dag
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ är antalet oberoende händelser som inträffar i ett fast intervall (0, 1, 2,...).
Hastighetsparametern $l$ representerar det typiska antalet händelser per tidsintervall
($l > 0$).

Poissonmodellen

$Y$ = volym (# användare) en given dag
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ är antalet oberoende händelser som inträffar i ett fast intervall (0, 1, 2,...).
Hastighetsparametern $l$ representerar det typiska antalet händelser per tidsintervall
($l > 0$).

Poissonregression

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ där $l_i > 0$

Poissonregression

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ där $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Poissonregression

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ där $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Ett problem:
Att koppla $l_i$ direkt till den linjära modellen innebär att $l_i$ kan bli negativt.

Poissonregression

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ där $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

En lösning:
Använd en log länkfunktion för att koppla $l_i$ till den linjära modellen. Det ger:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Poissonregression

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ där $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

En lösning:
Använd en log länkfunktion för att koppla $l_i$ till den linjära modellen. Det ger:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Poissonregression i RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c




}"

Poissonregression i RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Poissonregression i RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Poissonregression i RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Förbehåll

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

Antagande: Bland dagar med liknande temperatur och veckodagsstatus är variansen i $Y_i$ lika med medelvärdet av $Y_i$.
Våra data visar potentiell överdispersion – variansen är större än medelvärdet.
Modellen är inte perfekt, men ett godtagbart startläge.

Nu kör vi en övning!

Bayesiansk modellering med RJAGS